0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 192;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 384;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 680 768;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 680 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 361 536;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 361 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 723 072;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 723 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 446 144;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 446 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 892 288;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 892 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 784 576;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 784 576 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 569 152;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 569 152 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 138 304;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 138 304 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 276 608;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 276 608 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 553 216;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 553 216 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 106 432;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 106 432 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 842 212 864;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 842 212 864 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 684 425 728;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 684 425 728 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 368 851 456;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 368 851 456 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 737 702 912;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 737 702 912 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 475 405 824;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 475 405 824 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 950 811 648;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 950 811 648 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 901 623 296;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 901 623 296 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 803 246 592;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 803 246 592 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 606 493 184;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 606 493 184 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 212 986 368;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 212 986 368 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 374 425 972 736;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 374 425 972 736 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 748 851 945 472;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 748 851 945 472 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 497 703 890 944;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 497 703 890 944 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 995 407 781 888;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 658 995 407 781 888 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 990 815 563 776;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 317 990 815 563 776 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 981 631 127 552;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 635 981 631 127 552 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 963 262 255 104;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 271 963 262 255 104 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 926 524 510 208;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 543 926 524 510 208 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 853 049 020 416;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 087 853 049 020 416 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 175 706 098 040 832;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 175 706 098 040 832 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 351 412 196 081 664;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 351 412 196 081 664 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 702 824 392 163 328;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 702 824 392 163 328 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 405 648 784 326 656;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 405 648 784 326 656 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 811 297 568 653 312;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 811 297 568 653 312 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 622 595 137 306 624;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 622 595 137 306 624 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 245 190 274 613 248;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 245 190 274 613 248 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 490 380 549 226 496;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 490 380 549 226 496 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 980 761 098 452 992;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 292 980 761 098 452 992 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 961 522 196 905 984;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 585 961 522 196 905 984 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 171 923 044 393 811 968;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 171 923 044 393 811 968 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 343 846 088 787 623 936;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 343 846 088 787 623 936 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 687 692 177 575 247 872;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 687 692 177 575 247 872 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 375 384 355 150 495 744;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 375 384 355 150 495 744 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 750 768 710 300 991 488;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 750 768 710 300 991 488 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 501 537 420 601 982 976;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 501 537 420 601 982 976 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 003 074 841 203 965 952;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 003 074 841 203 965 952 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 006 149 682 407 931 904;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 006 149 682 407 931 904 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 012 299 364 815 863 808;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 012 299 364 815 863 808 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 024 598 729 631 727 616;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 024 598 729 631 727 616 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 049 197 459 263 455 232;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 049 197 459 263 455 232 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 952 098 394 918 526 910 464;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 952 098 394 918 526 910 464 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 904 196 789 837 053 820 928;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 904 196 789 837 053 820 928 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 808 393 579 674 107 641 856;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 808 393 579 674 107 641 856 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 616 787 159 348 215 283 712;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 616 787 159 348 215 283 712 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 233 574 318 696 430 567 424;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 233 574 318 696 430 567 424 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 467 148 637 392 861 134 848;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 467 148 637 392 861 134 848 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 934 297 274 785 722 269 696;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 124 934 297 274 785 722 269 696 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 868 594 549 571 444 539 392;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 249 868 594 549 571 444 539 392 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 737 189 099 142 889 078 784;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 499 737 189 099 142 889 078 784 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 999 474 378 198 285 778 157 568;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 624 999 474 378 198 285 778 157 568 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 998 948 756 396 571 556 315 136;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 249 998 948 756 396 571 556 315 136 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 997 897 512 793 143 112 630 272;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 499 997 897 512 793 143 112 630 272 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 995 795 025 586 286 225 260 544;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 124 999 995 795 025 586 286 225 260 544 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 991 590 051 172 572 450 521 088;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 249 999 991 590 051 172 572 450 521 088 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 983 180 102 345 144 901 042 176;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 499 999 983 180 102 345 144 901 042 176 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 966 360 204 690 289 802 084 352;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 624 999 999 966 360 204 690 289 802 084 352 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 932 720 409 380 579 604 168 704;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 249 999 999 932 720 409 380 579 604 168 704 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 865 440 818 761 159 208 337 408;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 499 999 999 865 440 818 761 159 208 337 408 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 730 881 637 522 318 416 674 816;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 124 999 999 999 730 881 637 522 318 416 674 816 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 249 999 999 999 461 763 275 044 636 833 349 632;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 249 999 999 999 461 763 275 044 636 833 349 632 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 499 999 999 998 923 526 550 089 273 666 699 264;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 499 999 999 998 923 526 550 089 273 666 699 264 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 624 999 999 999 997 847 053 100 178 547 333 398 528;
  • 76) 0,849 273 681 640 624 999 999 999 997 847 053 100 178 547 333 398 528 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 249 999 999 999 995 694 106 200 357 094 666 797 056;
  • 77) 0,698 547 363 281 249 999 999 999 995 694 106 200 357 094 666 797 056 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 499 999 999 999 991 388 212 400 714 189 333 594 112;
  • 78) 0,397 094 726 562 499 999 999 999 991 388 212 400 714 189 333 594 112 × 2 = 0 + 0,794 189 453 124 999 999 999 999 982 776 424 801 428 378 667 188 224;
  • 79) 0,794 189 453 124 999 999 999 999 982 776 424 801 428 378 667 188 224 × 2 = 1 + 0,588 378 906 249 999 999 999 999 965 552 849 602 856 757 334 376 448;
  • 80) 0,588 378 906 249 999 999 999 999 965 552 849 602 856 757 334 376 448 × 2 = 1 + 0,176 757 812 499 999 999 999 999 931 105 699 205 713 514 668 752 896;
  • 81) 0,176 757 812 499 999 999 999 999 931 105 699 205 713 514 668 752 896 × 2 = 0 + 0,353 515 624 999 999 999 999 999 862 211 398 411 427 029 337 505 792;
  • 82) 0,353 515 624 999 999 999 999 999 862 211 398 411 427 029 337 505 792 × 2 = 0 + 0,707 031 249 999 999 999 999 999 724 422 796 822 854 058 675 011 584;
  • 83) 0,707 031 249 999 999 999 999 999 724 422 796 822 854 058 675 011 584 × 2 = 1 + 0,414 062 499 999 999 999 999 999 448 845 593 645 708 117 350 023 168;
  • 84) 0,414 062 499 999 999 999 999 999 448 845 593 645 708 117 350 023 168 × 2 = 0 + 0,828 124 999 999 999 999 999 998 897 691 187 291 416 234 700 046 336;
  • 85) 0,828 124 999 999 999 999 999 998 897 691 187 291 416 234 700 046 336 × 2 = 1 + 0,656 249 999 999 999 999 999 997 795 382 374 582 832 469 400 092 672;
  • 86) 0,656 249 999 999 999 999 999 997 795 382 374 582 832 469 400 092 672 × 2 = 1 + 0,312 499 999 999 999 999 999 995 590 764 749 165 664 938 800 185 344;
  • 87) 0,312 499 999 999 999 999 999 995 590 764 749 165 664 938 800 185 344 × 2 = 0 + 0,624 999 999 999 999 999 999 991 181 529 498 331 329 877 600 370 688;
  • 88) 0,624 999 999 999 999 999 999 991 181 529 498 331 329 877 600 370 688 × 2 = 1 + 0,249 999 999 999 999 999 999 982 363 058 996 662 659 755 200 741 376;
  • 89) 0,249 999 999 999 999 999 999 982 363 058 996 662 659 755 200 741 376 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 999 999 999 964 726 117 993 325 319 510 401 482 752;
  • 90) 0,499 999 999 999 999 999 999 964 726 117 993 325 319 510 401 482 752 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 999 999 999 929 452 235 986 650 639 020 802 965 504;
  • 91) 0,999 999 999 999 999 999 999 929 452 235 986 650 639 020 802 965 504 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 999 999 858 904 471 973 301 278 041 605 931 008;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 001(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 096 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 115 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100