0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3 × 2 = 0 + 0,000 000 000 222 022 220 220 222 200 000 022 202 002 222 230 6;
  • 2) 0,000 000 000 222 022 220 220 222 200 000 022 202 002 222 230 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 444 044 440 440 444 400 000 044 404 004 444 461 2;
  • 3) 0,000 000 000 444 044 440 440 444 400 000 044 404 004 444 461 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 888 088 880 880 888 800 000 088 808 008 888 922 4;
  • 4) 0,000 000 000 888 088 880 880 888 800 000 088 808 008 888 922 4 × 2 = 0 + 0,000 000 001 776 177 761 761 777 600 000 177 616 017 777 844 8;
  • 5) 0,000 000 001 776 177 761 761 777 600 000 177 616 017 777 844 8 × 2 = 0 + 0,000 000 003 552 355 523 523 555 200 000 355 232 035 555 689 6;
  • 6) 0,000 000 003 552 355 523 523 555 200 000 355 232 035 555 689 6 × 2 = 0 + 0,000 000 007 104 711 047 047 110 400 000 710 464 071 111 379 2;
  • 7) 0,000 000 007 104 711 047 047 110 400 000 710 464 071 111 379 2 × 2 = 0 + 0,000 000 014 209 422 094 094 220 800 001 420 928 142 222 758 4;
  • 8) 0,000 000 014 209 422 094 094 220 800 001 420 928 142 222 758 4 × 2 = 0 + 0,000 000 028 418 844 188 188 441 600 002 841 856 284 445 516 8;
  • 9) 0,000 000 028 418 844 188 188 441 600 002 841 856 284 445 516 8 × 2 = 0 + 0,000 000 056 837 688 376 376 883 200 005 683 712 568 891 033 6;
  • 10) 0,000 000 056 837 688 376 376 883 200 005 683 712 568 891 033 6 × 2 = 0 + 0,000 000 113 675 376 752 753 766 400 011 367 425 137 782 067 2;
  • 11) 0,000 000 113 675 376 752 753 766 400 011 367 425 137 782 067 2 × 2 = 0 + 0,000 000 227 350 753 505 507 532 800 022 734 850 275 564 134 4;
  • 12) 0,000 000 227 350 753 505 507 532 800 022 734 850 275 564 134 4 × 2 = 0 + 0,000 000 454 701 507 011 015 065 600 045 469 700 551 128 268 8;
  • 13) 0,000 000 454 701 507 011 015 065 600 045 469 700 551 128 268 8 × 2 = 0 + 0,000 000 909 403 014 022 030 131 200 090 939 401 102 256 537 6;
  • 14) 0,000 000 909 403 014 022 030 131 200 090 939 401 102 256 537 6 × 2 = 0 + 0,000 001 818 806 028 044 060 262 400 181 878 802 204 513 075 2;
  • 15) 0,000 001 818 806 028 044 060 262 400 181 878 802 204 513 075 2 × 2 = 0 + 0,000 003 637 612 056 088 120 524 800 363 757 604 409 026 150 4;
  • 16) 0,000 003 637 612 056 088 120 524 800 363 757 604 409 026 150 4 × 2 = 0 + 0,000 007 275 224 112 176 241 049 600 727 515 208 818 052 300 8;
  • 17) 0,000 007 275 224 112 176 241 049 600 727 515 208 818 052 300 8 × 2 = 0 + 0,000 014 550 448 224 352 482 099 201 455 030 417 636 104 601 6;
  • 18) 0,000 014 550 448 224 352 482 099 201 455 030 417 636 104 601 6 × 2 = 0 + 0,000 029 100 896 448 704 964 198 402 910 060 835 272 209 203 2;
  • 19) 0,000 029 100 896 448 704 964 198 402 910 060 835 272 209 203 2 × 2 = 0 + 0,000 058 201 792 897 409 928 396 805 820 121 670 544 418 406 4;
  • 20) 0,000 058 201 792 897 409 928 396 805 820 121 670 544 418 406 4 × 2 = 0 + 0,000 116 403 585 794 819 856 793 611 640 243 341 088 836 812 8;
  • 21) 0,000 116 403 585 794 819 856 793 611 640 243 341 088 836 812 8 × 2 = 0 + 0,000 232 807 171 589 639 713 587 223 280 486 682 177 673 625 6;
  • 22) 0,000 232 807 171 589 639 713 587 223 280 486 682 177 673 625 6 × 2 = 0 + 0,000 465 614 343 179 279 427 174 446 560 973 364 355 347 251 2;
  • 23) 0,000 465 614 343 179 279 427 174 446 560 973 364 355 347 251 2 × 2 = 0 + 0,000 931 228 686 358 558 854 348 893 121 946 728 710 694 502 4;
  • 24) 0,000 931 228 686 358 558 854 348 893 121 946 728 710 694 502 4 × 2 = 0 + 0,001 862 457 372 717 117 708 697 786 243 893 457 421 389 004 8;
  • 25) 0,001 862 457 372 717 117 708 697 786 243 893 457 421 389 004 8 × 2 = 0 + 0,003 724 914 745 434 235 417 395 572 487 786 914 842 778 009 6;
  • 26) 0,003 724 914 745 434 235 417 395 572 487 786 914 842 778 009 6 × 2 = 0 + 0,007 449 829 490 868 470 834 791 144 975 573 829 685 556 019 2;
  • 27) 0,007 449 829 490 868 470 834 791 144 975 573 829 685 556 019 2 × 2 = 0 + 0,014 899 658 981 736 941 669 582 289 951 147 659 371 112 038 4;
  • 28) 0,014 899 658 981 736 941 669 582 289 951 147 659 371 112 038 4 × 2 = 0 + 0,029 799 317 963 473 883 339 164 579 902 295 318 742 224 076 8;
  • 29) 0,029 799 317 963 473 883 339 164 579 902 295 318 742 224 076 8 × 2 = 0 + 0,059 598 635 926 947 766 678 329 159 804 590 637 484 448 153 6;
  • 30) 0,059 598 635 926 947 766 678 329 159 804 590 637 484 448 153 6 × 2 = 0 + 0,119 197 271 853 895 533 356 658 319 609 181 274 968 896 307 2;
  • 31) 0,119 197 271 853 895 533 356 658 319 609 181 274 968 896 307 2 × 2 = 0 + 0,238 394 543 707 791 066 713 316 639 218 362 549 937 792 614 4;
  • 32) 0,238 394 543 707 791 066 713 316 639 218 362 549 937 792 614 4 × 2 = 0 + 0,476 789 087 415 582 133 426 633 278 436 725 099 875 585 228 8;
  • 33) 0,476 789 087 415 582 133 426 633 278 436 725 099 875 585 228 8 × 2 = 0 + 0,953 578 174 831 164 266 853 266 556 873 450 199 751 170 457 6;
  • 34) 0,953 578 174 831 164 266 853 266 556 873 450 199 751 170 457 6 × 2 = 1 + 0,907 156 349 662 328 533 706 533 113 746 900 399 502 340 915 2;
  • 35) 0,907 156 349 662 328 533 706 533 113 746 900 399 502 340 915 2 × 2 = 1 + 0,814 312 699 324 657 067 413 066 227 493 800 799 004 681 830 4;
  • 36) 0,814 312 699 324 657 067 413 066 227 493 800 799 004 681 830 4 × 2 = 1 + 0,628 625 398 649 314 134 826 132 454 987 601 598 009 363 660 8;
  • 37) 0,628 625 398 649 314 134 826 132 454 987 601 598 009 363 660 8 × 2 = 1 + 0,257 250 797 298 628 269 652 264 909 975 203 196 018 727 321 6;
  • 38) 0,257 250 797 298 628 269 652 264 909 975 203 196 018 727 321 6 × 2 = 0 + 0,514 501 594 597 256 539 304 529 819 950 406 392 037 454 643 2;
  • 39) 0,514 501 594 597 256 539 304 529 819 950 406 392 037 454 643 2 × 2 = 1 + 0,029 003 189 194 513 078 609 059 639 900 812 784 074 909 286 4;
  • 40) 0,029 003 189 194 513 078 609 059 639 900 812 784 074 909 286 4 × 2 = 0 + 0,058 006 378 389 026 157 218 119 279 801 625 568 149 818 572 8;
  • 41) 0,058 006 378 389 026 157 218 119 279 801 625 568 149 818 572 8 × 2 = 0 + 0,116 012 756 778 052 314 436 238 559 603 251 136 299 637 145 6;
  • 42) 0,116 012 756 778 052 314 436 238 559 603 251 136 299 637 145 6 × 2 = 0 + 0,232 025 513 556 104 628 872 477 119 206 502 272 599 274 291 2;
  • 43) 0,232 025 513 556 104 628 872 477 119 206 502 272 599 274 291 2 × 2 = 0 + 0,464 051 027 112 209 257 744 954 238 413 004 545 198 548 582 4;
  • 44) 0,464 051 027 112 209 257 744 954 238 413 004 545 198 548 582 4 × 2 = 0 + 0,928 102 054 224 418 515 489 908 476 826 009 090 397 097 164 8;
  • 45) 0,928 102 054 224 418 515 489 908 476 826 009 090 397 097 164 8 × 2 = 1 + 0,856 204 108 448 837 030 979 816 953 652 018 180 794 194 329 6;
  • 46) 0,856 204 108 448 837 030 979 816 953 652 018 180 794 194 329 6 × 2 = 1 + 0,712 408 216 897 674 061 959 633 907 304 036 361 588 388 659 2;
  • 47) 0,712 408 216 897 674 061 959 633 907 304 036 361 588 388 659 2 × 2 = 1 + 0,424 816 433 795 348 123 919 267 814 608 072 723 176 777 318 4;
  • 48) 0,424 816 433 795 348 123 919 267 814 608 072 723 176 777 318 4 × 2 = 0 + 0,849 632 867 590 696 247 838 535 629 216 145 446 353 554 636 8;
  • 49) 0,849 632 867 590 696 247 838 535 629 216 145 446 353 554 636 8 × 2 = 1 + 0,699 265 735 181 392 495 677 071 258 432 290 892 707 109 273 6;
  • 50) 0,699 265 735 181 392 495 677 071 258 432 290 892 707 109 273 6 × 2 = 1 + 0,398 531 470 362 784 991 354 142 516 864 581 785 414 218 547 2;
  • 51) 0,398 531 470 362 784 991 354 142 516 864 581 785 414 218 547 2 × 2 = 0 + 0,797 062 940 725 569 982 708 285 033 729 163 570 828 437 094 4;
  • 52) 0,797 062 940 725 569 982 708 285 033 729 163 570 828 437 094 4 × 2 = 1 + 0,594 125 881 451 139 965 416 570 067 458 327 141 656 874 188 8;
  • 53) 0,594 125 881 451 139 965 416 570 067 458 327 141 656 874 188 8 × 2 = 1 + 0,188 251 762 902 279 930 833 140 134 916 654 283 313 748 377 6;
  • 54) 0,188 251 762 902 279 930 833 140 134 916 654 283 313 748 377 6 × 2 = 0 + 0,376 503 525 804 559 861 666 280 269 833 308 566 627 496 755 2;
  • 55) 0,376 503 525 804 559 861 666 280 269 833 308 566 627 496 755 2 × 2 = 0 + 0,753 007 051 609 119 723 332 560 539 666 617 133 254 993 510 4;
  • 56) 0,753 007 051 609 119 723 332 560 539 666 617 133 254 993 510 4 × 2 = 1 + 0,506 014 103 218 239 446 665 121 079 333 234 266 509 987 020 8;
  • 57) 0,506 014 103 218 239 446 665 121 079 333 234 266 509 987 020 8 × 2 = 1 + 0,012 028 206 436 478 893 330 242 158 666 468 533 019 974 041 6;
  • 58) 0,012 028 206 436 478 893 330 242 158 666 468 533 019 974 041 6 × 2 = 0 + 0,024 056 412 872 957 786 660 484 317 332 937 066 039 948 083 2;
  • 59) 0,024 056 412 872 957 786 660 484 317 332 937 066 039 948 083 2 × 2 = 0 + 0,048 112 825 745 915 573 320 968 634 665 874 132 079 896 166 4;
  • 60) 0,048 112 825 745 915 573 320 968 634 665 874 132 079 896 166 4 × 2 = 0 + 0,096 225 651 491 831 146 641 937 269 331 748 264 159 792 332 8;
  • 61) 0,096 225 651 491 831 146 641 937 269 331 748 264 159 792 332 8 × 2 = 0 + 0,192 451 302 983 662 293 283 874 538 663 496 528 319 584 665 6;
  • 62) 0,192 451 302 983 662 293 283 874 538 663 496 528 319 584 665 6 × 2 = 0 + 0,384 902 605 967 324 586 567 749 077 326 993 056 639 169 331 2;
  • 63) 0,384 902 605 967 324 586 567 749 077 326 993 056 639 169 331 2 × 2 = 0 + 0,769 805 211 934 649 173 135 498 154 653 986 113 278 338 662 4;
  • 64) 0,769 805 211 934 649 173 135 498 154 653 986 113 278 338 662 4 × 2 = 1 + 0,539 610 423 869 298 346 270 996 309 307 972 226 556 677 324 8;
  • 65) 0,539 610 423 869 298 346 270 996 309 307 972 226 556 677 324 8 × 2 = 1 + 0,079 220 847 738 596 692 541 992 618 615 944 453 113 354 649 6;
  • 66) 0,079 220 847 738 596 692 541 992 618 615 944 453 113 354 649 6 × 2 = 0 + 0,158 441 695 477 193 385 083 985 237 231 888 906 226 709 299 2;
  • 67) 0,158 441 695 477 193 385 083 985 237 231 888 906 226 709 299 2 × 2 = 0 + 0,316 883 390 954 386 770 167 970 474 463 777 812 453 418 598 4;
  • 68) 0,316 883 390 954 386 770 167 970 474 463 777 812 453 418 598 4 × 2 = 0 + 0,633 766 781 908 773 540 335 940 948 927 555 624 906 837 196 8;
  • 69) 0,633 766 781 908 773 540 335 940 948 927 555 624 906 837 196 8 × 2 = 1 + 0,267 533 563 817 547 080 671 881 897 855 111 249 813 674 393 6;
  • 70) 0,267 533 563 817 547 080 671 881 897 855 111 249 813 674 393 6 × 2 = 0 + 0,535 067 127 635 094 161 343 763 795 710 222 499 627 348 787 2;
  • 71) 0,535 067 127 635 094 161 343 763 795 710 222 499 627 348 787 2 × 2 = 1 + 0,070 134 255 270 188 322 687 527 591 420 444 999 254 697 574 4;
  • 72) 0,070 134 255 270 188 322 687 527 591 420 444 999 254 697 574 4 × 2 = 0 + 0,140 268 510 540 376 645 375 055 182 840 889 998 509 395 148 8;
  • 73) 0,140 268 510 540 376 645 375 055 182 840 889 998 509 395 148 8 × 2 = 0 + 0,280 537 021 080 753 290 750 110 365 681 779 997 018 790 297 6;
  • 74) 0,280 537 021 080 753 290 750 110 365 681 779 997 018 790 297 6 × 2 = 0 + 0,561 074 042 161 506 581 500 220 731 363 559 994 037 580 595 2;
  • 75) 0,561 074 042 161 506 581 500 220 731 363 559 994 037 580 595 2 × 2 = 1 + 0,122 148 084 323 013 163 000 441 462 727 119 988 075 161 190 4;
  • 76) 0,122 148 084 323 013 163 000 441 462 727 119 988 075 161 190 4 × 2 = 0 + 0,244 296 168 646 026 326 000 882 925 454 239 976 150 322 380 8;
  • 77) 0,244 296 168 646 026 326 000 882 925 454 239 976 150 322 380 8 × 2 = 0 + 0,488 592 337 292 052 652 001 765 850 908 479 952 300 644 761 6;
  • 78) 0,488 592 337 292 052 652 001 765 850 908 479 952 300 644 761 6 × 2 = 0 + 0,977 184 674 584 105 304 003 531 701 816 959 904 601 289 523 2;
  • 79) 0,977 184 674 584 105 304 003 531 701 816 959 904 601 289 523 2 × 2 = 1 + 0,954 369 349 168 210 608 007 063 403 633 919 809 202 579 046 4;
  • 80) 0,954 369 349 168 210 608 007 063 403 633 919 809 202 579 046 4 × 2 = 1 + 0,908 738 698 336 421 216 014 126 807 267 839 618 405 158 092 8;
  • 81) 0,908 738 698 336 421 216 014 126 807 267 839 618 405 158 092 8 × 2 = 1 + 0,817 477 396 672 842 432 028 253 614 535 679 236 810 316 185 6;
  • 82) 0,817 477 396 672 842 432 028 253 614 535 679 236 810 316 185 6 × 2 = 1 + 0,634 954 793 345 684 864 056 507 229 071 358 473 620 632 371 2;
  • 83) 0,634 954 793 345 684 864 056 507 229 071 358 473 620 632 371 2 × 2 = 1 + 0,269 909 586 691 369 728 113 014 458 142 716 947 241 264 742 4;
  • 84) 0,269 909 586 691 369 728 113 014 458 142 716 947 241 264 742 4 × 2 = 0 + 0,539 819 173 382 739 456 226 028 916 285 433 894 482 529 484 8;
  • 85) 0,539 819 173 382 739 456 226 028 916 285 433 894 482 529 484 8 × 2 = 1 + 0,079 638 346 765 478 912 452 057 832 570 867 788 965 058 969 6;
  • 86) 0,079 638 346 765 478 912 452 057 832 570 867 788 965 058 969 6 × 2 = 0 + 0,159 276 693 530 957 824 904 115 665 141 735 577 930 117 939 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 34 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2) × 20 =

1,1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010(2) × 2-34


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -34

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-34 + 2(11-1) - 1 =

(-34 + 1 023)(10) =

989(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 989 : 2 = 494 + 1;
  • 494 : 2 = 247 + 0;
  • 247 : 2 = 123 + 1;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

989(10) =

011 1101 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010 =

1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1101

Mantisă (52 biți) =
1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 115 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1101 - 1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100