0,000 000 029 364 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 029 364(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 029 364(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 029 364.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 029 364 × 2 = 0 + 0,000 000 058 728;
  • 2) 0,000 000 058 728 × 2 = 0 + 0,000 000 117 456;
  • 3) 0,000 000 117 456 × 2 = 0 + 0,000 000 234 912;
  • 4) 0,000 000 234 912 × 2 = 0 + 0,000 000 469 824;
  • 5) 0,000 000 469 824 × 2 = 0 + 0,000 000 939 648;
  • 6) 0,000 000 939 648 × 2 = 0 + 0,000 001 879 296;
  • 7) 0,000 001 879 296 × 2 = 0 + 0,000 003 758 592;
  • 8) 0,000 003 758 592 × 2 = 0 + 0,000 007 517 184;
  • 9) 0,000 007 517 184 × 2 = 0 + 0,000 015 034 368;
  • 10) 0,000 015 034 368 × 2 = 0 + 0,000 030 068 736;
  • 11) 0,000 030 068 736 × 2 = 0 + 0,000 060 137 472;
  • 12) 0,000 060 137 472 × 2 = 0 + 0,000 120 274 944;
  • 13) 0,000 120 274 944 × 2 = 0 + 0,000 240 549 888;
  • 14) 0,000 240 549 888 × 2 = 0 + 0,000 481 099 776;
  • 15) 0,000 481 099 776 × 2 = 0 + 0,000 962 199 552;
  • 16) 0,000 962 199 552 × 2 = 0 + 0,001 924 399 104;
  • 17) 0,001 924 399 104 × 2 = 0 + 0,003 848 798 208;
  • 18) 0,003 848 798 208 × 2 = 0 + 0,007 697 596 416;
  • 19) 0,007 697 596 416 × 2 = 0 + 0,015 395 192 832;
  • 20) 0,015 395 192 832 × 2 = 0 + 0,030 790 385 664;
  • 21) 0,030 790 385 664 × 2 = 0 + 0,061 580 771 328;
  • 22) 0,061 580 771 328 × 2 = 0 + 0,123 161 542 656;
  • 23) 0,123 161 542 656 × 2 = 0 + 0,246 323 085 312;
  • 24) 0,246 323 085 312 × 2 = 0 + 0,492 646 170 624;
  • 25) 0,492 646 170 624 × 2 = 0 + 0,985 292 341 248;
  • 26) 0,985 292 341 248 × 2 = 1 + 0,970 584 682 496;
  • 27) 0,970 584 682 496 × 2 = 1 + 0,941 169 364 992;
  • 28) 0,941 169 364 992 × 2 = 1 + 0,882 338 729 984;
  • 29) 0,882 338 729 984 × 2 = 1 + 0,764 677 459 968;
  • 30) 0,764 677 459 968 × 2 = 1 + 0,529 354 919 936;
  • 31) 0,529 354 919 936 × 2 = 1 + 0,058 709 839 872;
  • 32) 0,058 709 839 872 × 2 = 0 + 0,117 419 679 744;
  • 33) 0,117 419 679 744 × 2 = 0 + 0,234 839 359 488;
  • 34) 0,234 839 359 488 × 2 = 0 + 0,469 678 718 976;
  • 35) 0,469 678 718 976 × 2 = 0 + 0,939 357 437 952;
  • 36) 0,939 357 437 952 × 2 = 1 + 0,878 714 875 904;
  • 37) 0,878 714 875 904 × 2 = 1 + 0,757 429 751 808;
  • 38) 0,757 429 751 808 × 2 = 1 + 0,514 859 503 616;
  • 39) 0,514 859 503 616 × 2 = 1 + 0,029 719 007 232;
  • 40) 0,029 719 007 232 × 2 = 0 + 0,059 438 014 464;
  • 41) 0,059 438 014 464 × 2 = 0 + 0,118 876 028 928;
  • 42) 0,118 876 028 928 × 2 = 0 + 0,237 752 057 856;
  • 43) 0,237 752 057 856 × 2 = 0 + 0,475 504 115 712;
  • 44) 0,475 504 115 712 × 2 = 0 + 0,951 008 231 424;
  • 45) 0,951 008 231 424 × 2 = 1 + 0,902 016 462 848;
  • 46) 0,902 016 462 848 × 2 = 1 + 0,804 032 925 696;
  • 47) 0,804 032 925 696 × 2 = 1 + 0,608 065 851 392;
  • 48) 0,608 065 851 392 × 2 = 1 + 0,216 131 702 784;
  • 49) 0,216 131 702 784 × 2 = 0 + 0,432 263 405 568;
  • 50) 0,432 263 405 568 × 2 = 0 + 0,864 526 811 136;
  • 51) 0,864 526 811 136 × 2 = 1 + 0,729 053 622 272;
  • 52) 0,729 053 622 272 × 2 = 1 + 0,458 107 244 544;
  • 53) 0,458 107 244 544 × 2 = 0 + 0,916 214 489 088;
  • 54) 0,916 214 489 088 × 2 = 1 + 0,832 428 978 176;
  • 55) 0,832 428 978 176 × 2 = 1 + 0,664 857 956 352;
  • 56) 0,664 857 956 352 × 2 = 1 + 0,329 715 912 704;
  • 57) 0,329 715 912 704 × 2 = 0 + 0,659 431 825 408;
  • 58) 0,659 431 825 408 × 2 = 1 + 0,318 863 650 816;
  • 59) 0,318 863 650 816 × 2 = 0 + 0,637 727 301 632;
  • 60) 0,637 727 301 632 × 2 = 1 + 0,275 454 603 264;
  • 61) 0,275 454 603 264 × 2 = 0 + 0,550 909 206 528;
  • 62) 0,550 909 206 528 × 2 = 1 + 0,101 818 413 056;
  • 63) 0,101 818 413 056 × 2 = 0 + 0,203 636 826 112;
  • 64) 0,203 636 826 112 × 2 = 0 + 0,407 273 652 224;
  • 65) 0,407 273 652 224 × 2 = 0 + 0,814 547 304 448;
  • 66) 0,814 547 304 448 × 2 = 1 + 0,629 094 608 896;
  • 67) 0,629 094 608 896 × 2 = 1 + 0,258 189 217 792;
  • 68) 0,258 189 217 792 × 2 = 0 + 0,516 378 435 584;
  • 69) 0,516 378 435 584 × 2 = 1 + 0,032 756 871 168;
  • 70) 0,032 756 871 168 × 2 = 0 + 0,065 513 742 336;
  • 71) 0,065 513 742 336 × 2 = 0 + 0,131 027 484 672;
  • 72) 0,131 027 484 672 × 2 = 0 + 0,262 054 969 344;
  • 73) 0,262 054 969 344 × 2 = 0 + 0,524 109 938 688;
  • 74) 0,524 109 938 688 × 2 = 1 + 0,048 219 877 376;
  • 75) 0,048 219 877 376 × 2 = 0 + 0,096 439 754 752;
  • 76) 0,096 439 754 752 × 2 = 0 + 0,192 879 509 504;
  • 77) 0,192 879 509 504 × 2 = 0 + 0,385 759 019 008;
  • 78) 0,385 759 019 008 × 2 = 0 + 0,771 518 038 016;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 029 364(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0001 1110 0000 1111 0011 0111 0101 0100 0110 1000 0100 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 029 364(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0001 1110 0000 1111 0011 0111 0101 0100 0110 1000 0100 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 26 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 029 364(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0001 1110 0000 1111 0011 0111 0101 0100 0110 1000 0100 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0001 1110 0000 1111 0011 0111 0101 0100 0110 1000 0100 00(2) × 20 =

1,1111 1000 0111 1000 0011 1100 1101 1101 0101 0001 1010 0001 0000(2) × 2-26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -26

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1000 0111 1000 0011 1100 1101 1101 0101 0001 1010 0001 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-26 + 2(11-1) - 1 =

(-26 + 1 023)(10) =

997(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 997 : 2 = 498 + 1;
  • 498 : 2 = 249 + 0;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

997(10) =

011 1110 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1000 0111 1000 0011 1100 1101 1101 0101 0001 1010 0001 0000 =

1111 1000 0111 1000 0011 1100 1101 1101 0101 0001 1010 0001 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0101

Mantisă (52 biți) =
1111 1000 0111 1000 0011 1100 1101 1101 0101 0001 1010 0001 0000


Numărul zecimal 0,000 000 029 364 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0101 - 1111 1000 0111 1000 0011 1100 1101 1101 0101 0001 1010 0001 0000

» Scriere 0,000 000 029 371 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100