0,000 000 029 429 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 029 429(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 029 429(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 029 429.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 029 429 × 2 = 0 + 0,000 000 058 858;
  • 2) 0,000 000 058 858 × 2 = 0 + 0,000 000 117 716;
  • 3) 0,000 000 117 716 × 2 = 0 + 0,000 000 235 432;
  • 4) 0,000 000 235 432 × 2 = 0 + 0,000 000 470 864;
  • 5) 0,000 000 470 864 × 2 = 0 + 0,000 000 941 728;
  • 6) 0,000 000 941 728 × 2 = 0 + 0,000 001 883 456;
  • 7) 0,000 001 883 456 × 2 = 0 + 0,000 003 766 912;
  • 8) 0,000 003 766 912 × 2 = 0 + 0,000 007 533 824;
  • 9) 0,000 007 533 824 × 2 = 0 + 0,000 015 067 648;
  • 10) 0,000 015 067 648 × 2 = 0 + 0,000 030 135 296;
  • 11) 0,000 030 135 296 × 2 = 0 + 0,000 060 270 592;
  • 12) 0,000 060 270 592 × 2 = 0 + 0,000 120 541 184;
  • 13) 0,000 120 541 184 × 2 = 0 + 0,000 241 082 368;
  • 14) 0,000 241 082 368 × 2 = 0 + 0,000 482 164 736;
  • 15) 0,000 482 164 736 × 2 = 0 + 0,000 964 329 472;
  • 16) 0,000 964 329 472 × 2 = 0 + 0,001 928 658 944;
  • 17) 0,001 928 658 944 × 2 = 0 + 0,003 857 317 888;
  • 18) 0,003 857 317 888 × 2 = 0 + 0,007 714 635 776;
  • 19) 0,007 714 635 776 × 2 = 0 + 0,015 429 271 552;
  • 20) 0,015 429 271 552 × 2 = 0 + 0,030 858 543 104;
  • 21) 0,030 858 543 104 × 2 = 0 + 0,061 717 086 208;
  • 22) 0,061 717 086 208 × 2 = 0 + 0,123 434 172 416;
  • 23) 0,123 434 172 416 × 2 = 0 + 0,246 868 344 832;
  • 24) 0,246 868 344 832 × 2 = 0 + 0,493 736 689 664;
  • 25) 0,493 736 689 664 × 2 = 0 + 0,987 473 379 328;
  • 26) 0,987 473 379 328 × 2 = 1 + 0,974 946 758 656;
  • 27) 0,974 946 758 656 × 2 = 1 + 0,949 893 517 312;
  • 28) 0,949 893 517 312 × 2 = 1 + 0,899 787 034 624;
  • 29) 0,899 787 034 624 × 2 = 1 + 0,799 574 069 248;
  • 30) 0,799 574 069 248 × 2 = 1 + 0,599 148 138 496;
  • 31) 0,599 148 138 496 × 2 = 1 + 0,198 296 276 992;
  • 32) 0,198 296 276 992 × 2 = 0 + 0,396 592 553 984;
  • 33) 0,396 592 553 984 × 2 = 0 + 0,793 185 107 968;
  • 34) 0,793 185 107 968 × 2 = 1 + 0,586 370 215 936;
  • 35) 0,586 370 215 936 × 2 = 1 + 0,172 740 431 872;
  • 36) 0,172 740 431 872 × 2 = 0 + 0,345 480 863 744;
  • 37) 0,345 480 863 744 × 2 = 0 + 0,690 961 727 488;
  • 38) 0,690 961 727 488 × 2 = 1 + 0,381 923 454 976;
  • 39) 0,381 923 454 976 × 2 = 0 + 0,763 846 909 952;
  • 40) 0,763 846 909 952 × 2 = 1 + 0,527 693 819 904;
  • 41) 0,527 693 819 904 × 2 = 1 + 0,055 387 639 808;
  • 42) 0,055 387 639 808 × 2 = 0 + 0,110 775 279 616;
  • 43) 0,110 775 279 616 × 2 = 0 + 0,221 550 559 232;
  • 44) 0,221 550 559 232 × 2 = 0 + 0,443 101 118 464;
  • 45) 0,443 101 118 464 × 2 = 0 + 0,886 202 236 928;
  • 46) 0,886 202 236 928 × 2 = 1 + 0,772 404 473 856;
  • 47) 0,772 404 473 856 × 2 = 1 + 0,544 808 947 712;
  • 48) 0,544 808 947 712 × 2 = 1 + 0,089 617 895 424;
  • 49) 0,089 617 895 424 × 2 = 0 + 0,179 235 790 848;
  • 50) 0,179 235 790 848 × 2 = 0 + 0,358 471 581 696;
  • 51) 0,358 471 581 696 × 2 = 0 + 0,716 943 163 392;
  • 52) 0,716 943 163 392 × 2 = 1 + 0,433 886 326 784;
  • 53) 0,433 886 326 784 × 2 = 0 + 0,867 772 653 568;
  • 54) 0,867 772 653 568 × 2 = 1 + 0,735 545 307 136;
  • 55) 0,735 545 307 136 × 2 = 1 + 0,471 090 614 272;
  • 56) 0,471 090 614 272 × 2 = 0 + 0,942 181 228 544;
  • 57) 0,942 181 228 544 × 2 = 1 + 0,884 362 457 088;
  • 58) 0,884 362 457 088 × 2 = 1 + 0,768 724 914 176;
  • 59) 0,768 724 914 176 × 2 = 1 + 0,537 449 828 352;
  • 60) 0,537 449 828 352 × 2 = 1 + 0,074 899 656 704;
  • 61) 0,074 899 656 704 × 2 = 0 + 0,149 799 313 408;
  • 62) 0,149 799 313 408 × 2 = 0 + 0,299 598 626 816;
  • 63) 0,299 598 626 816 × 2 = 0 + 0,599 197 253 632;
  • 64) 0,599 197 253 632 × 2 = 1 + 0,198 394 507 264;
  • 65) 0,198 394 507 264 × 2 = 0 + 0,396 789 014 528;
  • 66) 0,396 789 014 528 × 2 = 0 + 0,793 578 029 056;
  • 67) 0,793 578 029 056 × 2 = 1 + 0,587 156 058 112;
  • 68) 0,587 156 058 112 × 2 = 1 + 0,174 312 116 224;
  • 69) 0,174 312 116 224 × 2 = 0 + 0,348 624 232 448;
  • 70) 0,348 624 232 448 × 2 = 0 + 0,697 248 464 896;
  • 71) 0,697 248 464 896 × 2 = 1 + 0,394 496 929 792;
  • 72) 0,394 496 929 792 × 2 = 0 + 0,788 993 859 584;
  • 73) 0,788 993 859 584 × 2 = 1 + 0,577 987 719 168;
  • 74) 0,577 987 719 168 × 2 = 1 + 0,155 975 438 336;
  • 75) 0,155 975 438 336 × 2 = 0 + 0,311 950 876 672;
  • 76) 0,311 950 876 672 × 2 = 0 + 0,623 901 753 344;
  • 77) 0,623 901 753 344 × 2 = 1 + 0,247 803 506 688;
  • 78) 0,247 803 506 688 × 2 = 0 + 0,495 607 013 376;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 029 429(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0110 0101 1000 0111 0001 0110 1111 0001 0011 0010 1100 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 029 429(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0110 0101 1000 0111 0001 0110 1111 0001 0011 0010 1100 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 26 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 029 429(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0110 0101 1000 0111 0001 0110 1111 0001 0011 0010 1100 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0110 0101 1000 0111 0001 0110 1111 0001 0011 0010 1100 10(2) × 20 =

1,1111 1001 1001 0110 0001 1100 0101 1011 1100 0100 1100 1011 0010(2) × 2-26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -26

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1001 1001 0110 0001 1100 0101 1011 1100 0100 1100 1011 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-26 + 2(11-1) - 1 =

(-26 + 1 023)(10) =

997(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 997 : 2 = 498 + 1;
  • 498 : 2 = 249 + 0;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

997(10) =

011 1110 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1001 1001 0110 0001 1100 0101 1011 1100 0100 1100 1011 0010 =

1111 1001 1001 0110 0001 1100 0101 1011 1100 0100 1100 1011 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0101

Mantisă (52 biți) =
1111 1001 1001 0110 0001 1100 0101 1011 1100 0100 1100 1011 0010


Numărul zecimal 0,000 000 029 429 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0101 - 1111 1001 1001 0110 0001 1100 0101 1011 1100 0100 1100 1011 0010

» Scriere 0,000 000 029 364 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100