0,000 000 061 095 054 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 061 095 054(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 061 095 054(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 061 095 054.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 061 095 054 × 2 = 0 + 0,000 000 122 190 108;
  • 2) 0,000 000 122 190 108 × 2 = 0 + 0,000 000 244 380 216;
  • 3) 0,000 000 244 380 216 × 2 = 0 + 0,000 000 488 760 432;
  • 4) 0,000 000 488 760 432 × 2 = 0 + 0,000 000 977 520 864;
  • 5) 0,000 000 977 520 864 × 2 = 0 + 0,000 001 955 041 728;
  • 6) 0,000 001 955 041 728 × 2 = 0 + 0,000 003 910 083 456;
  • 7) 0,000 003 910 083 456 × 2 = 0 + 0,000 007 820 166 912;
  • 8) 0,000 007 820 166 912 × 2 = 0 + 0,000 015 640 333 824;
  • 9) 0,000 015 640 333 824 × 2 = 0 + 0,000 031 280 667 648;
  • 10) 0,000 031 280 667 648 × 2 = 0 + 0,000 062 561 335 296;
  • 11) 0,000 062 561 335 296 × 2 = 0 + 0,000 125 122 670 592;
  • 12) 0,000 125 122 670 592 × 2 = 0 + 0,000 250 245 341 184;
  • 13) 0,000 250 245 341 184 × 2 = 0 + 0,000 500 490 682 368;
  • 14) 0,000 500 490 682 368 × 2 = 0 + 0,001 000 981 364 736;
  • 15) 0,001 000 981 364 736 × 2 = 0 + 0,002 001 962 729 472;
  • 16) 0,002 001 962 729 472 × 2 = 0 + 0,004 003 925 458 944;
  • 17) 0,004 003 925 458 944 × 2 = 0 + 0,008 007 850 917 888;
  • 18) 0,008 007 850 917 888 × 2 = 0 + 0,016 015 701 835 776;
  • 19) 0,016 015 701 835 776 × 2 = 0 + 0,032 031 403 671 552;
  • 20) 0,032 031 403 671 552 × 2 = 0 + 0,064 062 807 343 104;
  • 21) 0,064 062 807 343 104 × 2 = 0 + 0,128 125 614 686 208;
  • 22) 0,128 125 614 686 208 × 2 = 0 + 0,256 251 229 372 416;
  • 23) 0,256 251 229 372 416 × 2 = 0 + 0,512 502 458 744 832;
  • 24) 0,512 502 458 744 832 × 2 = 1 + 0,025 004 917 489 664;
  • 25) 0,025 004 917 489 664 × 2 = 0 + 0,050 009 834 979 328;
  • 26) 0,050 009 834 979 328 × 2 = 0 + 0,100 019 669 958 656;
  • 27) 0,100 019 669 958 656 × 2 = 0 + 0,200 039 339 917 312;
  • 28) 0,200 039 339 917 312 × 2 = 0 + 0,400 078 679 834 624;
  • 29) 0,400 078 679 834 624 × 2 = 0 + 0,800 157 359 669 248;
  • 30) 0,800 157 359 669 248 × 2 = 1 + 0,600 314 719 338 496;
  • 31) 0,600 314 719 338 496 × 2 = 1 + 0,200 629 438 676 992;
  • 32) 0,200 629 438 676 992 × 2 = 0 + 0,401 258 877 353 984;
  • 33) 0,401 258 877 353 984 × 2 = 0 + 0,802 517 754 707 968;
  • 34) 0,802 517 754 707 968 × 2 = 1 + 0,605 035 509 415 936;
  • 35) 0,605 035 509 415 936 × 2 = 1 + 0,210 071 018 831 872;
  • 36) 0,210 071 018 831 872 × 2 = 0 + 0,420 142 037 663 744;
  • 37) 0,420 142 037 663 744 × 2 = 0 + 0,840 284 075 327 488;
  • 38) 0,840 284 075 327 488 × 2 = 1 + 0,680 568 150 654 976;
  • 39) 0,680 568 150 654 976 × 2 = 1 + 0,361 136 301 309 952;
  • 40) 0,361 136 301 309 952 × 2 = 0 + 0,722 272 602 619 904;
  • 41) 0,722 272 602 619 904 × 2 = 1 + 0,444 545 205 239 808;
  • 42) 0,444 545 205 239 808 × 2 = 0 + 0,889 090 410 479 616;
  • 43) 0,889 090 410 479 616 × 2 = 1 + 0,778 180 820 959 232;
  • 44) 0,778 180 820 959 232 × 2 = 1 + 0,556 361 641 918 464;
  • 45) 0,556 361 641 918 464 × 2 = 1 + 0,112 723 283 836 928;
  • 46) 0,112 723 283 836 928 × 2 = 0 + 0,225 446 567 673 856;
  • 47) 0,225 446 567 673 856 × 2 = 0 + 0,450 893 135 347 712;
  • 48) 0,450 893 135 347 712 × 2 = 0 + 0,901 786 270 695 424;
  • 49) 0,901 786 270 695 424 × 2 = 1 + 0,803 572 541 390 848;
  • 50) 0,803 572 541 390 848 × 2 = 1 + 0,607 145 082 781 696;
  • 51) 0,607 145 082 781 696 × 2 = 1 + 0,214 290 165 563 392;
  • 52) 0,214 290 165 563 392 × 2 = 0 + 0,428 580 331 126 784;
  • 53) 0,428 580 331 126 784 × 2 = 0 + 0,857 160 662 253 568;
  • 54) 0,857 160 662 253 568 × 2 = 1 + 0,714 321 324 507 136;
  • 55) 0,714 321 324 507 136 × 2 = 1 + 0,428 642 649 014 272;
  • 56) 0,428 642 649 014 272 × 2 = 0 + 0,857 285 298 028 544;
  • 57) 0,857 285 298 028 544 × 2 = 1 + 0,714 570 596 057 088;
  • 58) 0,714 570 596 057 088 × 2 = 1 + 0,429 141 192 114 176;
  • 59) 0,429 141 192 114 176 × 2 = 0 + 0,858 282 384 228 352;
  • 60) 0,858 282 384 228 352 × 2 = 1 + 0,716 564 768 456 704;
  • 61) 0,716 564 768 456 704 × 2 = 1 + 0,433 129 536 913 408;
  • 62) 0,433 129 536 913 408 × 2 = 0 + 0,866 259 073 826 816;
  • 63) 0,866 259 073 826 816 × 2 = 1 + 0,732 518 147 653 632;
  • 64) 0,732 518 147 653 632 × 2 = 1 + 0,465 036 295 307 264;
  • 65) 0,465 036 295 307 264 × 2 = 0 + 0,930 072 590 614 528;
  • 66) 0,930 072 590 614 528 × 2 = 1 + 0,860 145 181 229 056;
  • 67) 0,860 145 181 229 056 × 2 = 1 + 0,720 290 362 458 112;
  • 68) 0,720 290 362 458 112 × 2 = 1 + 0,440 580 724 916 224;
  • 69) 0,440 580 724 916 224 × 2 = 0 + 0,881 161 449 832 448;
  • 70) 0,881 161 449 832 448 × 2 = 1 + 0,762 322 899 664 896;
  • 71) 0,762 322 899 664 896 × 2 = 1 + 0,524 645 799 329 792;
  • 72) 0,524 645 799 329 792 × 2 = 1 + 0,049 291 598 659 584;
  • 73) 0,049 291 598 659 584 × 2 = 0 + 0,098 583 197 319 168;
  • 74) 0,098 583 197 319 168 × 2 = 0 + 0,197 166 394 638 336;
  • 75) 0,197 166 394 638 336 × 2 = 0 + 0,394 332 789 276 672;
  • 76) 0,394 332 789 276 672 × 2 = 0 + 0,788 665 578 553 344;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 061 095 054(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 061 095 054(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 24 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 061 095 054(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000(2) × 2-24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -24

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-24 + 2(11-1) - 1 =

(-24 + 1 023)(10) =

999(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 999 : 2 = 499 + 1;
  • 499 : 2 = 249 + 1;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

999(10) =

011 1110 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000 =

0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0111

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000


Numărul zecimal 0,000 000 061 095 054 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0111 - 0000 0110 0110 0110 1011 1000 1110 0110 1101 1011 0111 0111 0000

» Scriere 0,000 000 061 095 098 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100