0,000 000 347 292 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 347 292(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 347 292(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 347 292.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 347 292 × 2 = 0 + 0,000 000 694 584;
  • 2) 0,000 000 694 584 × 2 = 0 + 0,000 001 389 168;
  • 3) 0,000 001 389 168 × 2 = 0 + 0,000 002 778 336;
  • 4) 0,000 002 778 336 × 2 = 0 + 0,000 005 556 672;
  • 5) 0,000 005 556 672 × 2 = 0 + 0,000 011 113 344;
  • 6) 0,000 011 113 344 × 2 = 0 + 0,000 022 226 688;
  • 7) 0,000 022 226 688 × 2 = 0 + 0,000 044 453 376;
  • 8) 0,000 044 453 376 × 2 = 0 + 0,000 088 906 752;
  • 9) 0,000 088 906 752 × 2 = 0 + 0,000 177 813 504;
  • 10) 0,000 177 813 504 × 2 = 0 + 0,000 355 627 008;
  • 11) 0,000 355 627 008 × 2 = 0 + 0,000 711 254 016;
  • 12) 0,000 711 254 016 × 2 = 0 + 0,001 422 508 032;
  • 13) 0,001 422 508 032 × 2 = 0 + 0,002 845 016 064;
  • 14) 0,002 845 016 064 × 2 = 0 + 0,005 690 032 128;
  • 15) 0,005 690 032 128 × 2 = 0 + 0,011 380 064 256;
  • 16) 0,011 380 064 256 × 2 = 0 + 0,022 760 128 512;
  • 17) 0,022 760 128 512 × 2 = 0 + 0,045 520 257 024;
  • 18) 0,045 520 257 024 × 2 = 0 + 0,091 040 514 048;
  • 19) 0,091 040 514 048 × 2 = 0 + 0,182 081 028 096;
  • 20) 0,182 081 028 096 × 2 = 0 + 0,364 162 056 192;
  • 21) 0,364 162 056 192 × 2 = 0 + 0,728 324 112 384;
  • 22) 0,728 324 112 384 × 2 = 1 + 0,456 648 224 768;
  • 23) 0,456 648 224 768 × 2 = 0 + 0,913 296 449 536;
  • 24) 0,913 296 449 536 × 2 = 1 + 0,826 592 899 072;
  • 25) 0,826 592 899 072 × 2 = 1 + 0,653 185 798 144;
  • 26) 0,653 185 798 144 × 2 = 1 + 0,306 371 596 288;
  • 27) 0,306 371 596 288 × 2 = 0 + 0,612 743 192 576;
  • 28) 0,612 743 192 576 × 2 = 1 + 0,225 486 385 152;
  • 29) 0,225 486 385 152 × 2 = 0 + 0,450 972 770 304;
  • 30) 0,450 972 770 304 × 2 = 0 + 0,901 945 540 608;
  • 31) 0,901 945 540 608 × 2 = 1 + 0,803 891 081 216;
  • 32) 0,803 891 081 216 × 2 = 1 + 0,607 782 162 432;
  • 33) 0,607 782 162 432 × 2 = 1 + 0,215 564 324 864;
  • 34) 0,215 564 324 864 × 2 = 0 + 0,431 128 649 728;
  • 35) 0,431 128 649 728 × 2 = 0 + 0,862 257 299 456;
  • 36) 0,862 257 299 456 × 2 = 1 + 0,724 514 598 912;
  • 37) 0,724 514 598 912 × 2 = 1 + 0,449 029 197 824;
  • 38) 0,449 029 197 824 × 2 = 0 + 0,898 058 395 648;
  • 39) 0,898 058 395 648 × 2 = 1 + 0,796 116 791 296;
  • 40) 0,796 116 791 296 × 2 = 1 + 0,592 233 582 592;
  • 41) 0,592 233 582 592 × 2 = 1 + 0,184 467 165 184;
  • 42) 0,184 467 165 184 × 2 = 0 + 0,368 934 330 368;
  • 43) 0,368 934 330 368 × 2 = 0 + 0,737 868 660 736;
  • 44) 0,737 868 660 736 × 2 = 1 + 0,475 737 321 472;
  • 45) 0,475 737 321 472 × 2 = 0 + 0,951 474 642 944;
  • 46) 0,951 474 642 944 × 2 = 1 + 0,902 949 285 888;
  • 47) 0,902 949 285 888 × 2 = 1 + 0,805 898 571 776;
  • 48) 0,805 898 571 776 × 2 = 1 + 0,611 797 143 552;
  • 49) 0,611 797 143 552 × 2 = 1 + 0,223 594 287 104;
  • 50) 0,223 594 287 104 × 2 = 0 + 0,447 188 574 208;
  • 51) 0,447 188 574 208 × 2 = 0 + 0,894 377 148 416;
  • 52) 0,894 377 148 416 × 2 = 1 + 0,788 754 296 832;
  • 53) 0,788 754 296 832 × 2 = 1 + 0,577 508 593 664;
  • 54) 0,577 508 593 664 × 2 = 1 + 0,155 017 187 328;
  • 55) 0,155 017 187 328 × 2 = 0 + 0,310 034 374 656;
  • 56) 0,310 034 374 656 × 2 = 0 + 0,620 068 749 312;
  • 57) 0,620 068 749 312 × 2 = 1 + 0,240 137 498 624;
  • 58) 0,240 137 498 624 × 2 = 0 + 0,480 274 997 248;
  • 59) 0,480 274 997 248 × 2 = 0 + 0,960 549 994 496;
  • 60) 0,960 549 994 496 × 2 = 1 + 0,921 099 988 992;
  • 61) 0,921 099 988 992 × 2 = 1 + 0,842 199 977 984;
  • 62) 0,842 199 977 984 × 2 = 1 + 0,684 399 955 968;
  • 63) 0,684 399 955 968 × 2 = 1 + 0,368 799 911 936;
  • 64) 0,368 799 911 936 × 2 = 0 + 0,737 599 823 872;
  • 65) 0,737 599 823 872 × 2 = 1 + 0,475 199 647 744;
  • 66) 0,475 199 647 744 × 2 = 0 + 0,950 399 295 488;
  • 67) 0,950 399 295 488 × 2 = 1 + 0,900 798 590 976;
  • 68) 0,900 798 590 976 × 2 = 1 + 0,801 597 181 952;
  • 69) 0,801 597 181 952 × 2 = 1 + 0,603 194 363 904;
  • 70) 0,603 194 363 904 × 2 = 1 + 0,206 388 727 808;
  • 71) 0,206 388 727 808 × 2 = 0 + 0,412 777 455 616;
  • 72) 0,412 777 455 616 × 2 = 0 + 0,825 554 911 232;
  • 73) 0,825 554 911 232 × 2 = 1 + 0,651 109 822 464;
  • 74) 0,651 109 822 464 × 2 = 1 + 0,302 219 644 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 347 292(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1001 1011 1001 0111 1001 1100 1001 1110 1011 1100 11(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 347 292(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1001 1011 1001 0111 1001 1100 1001 1110 1011 1100 11(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 347 292(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1001 1011 1001 0111 1001 1100 1001 1110 1011 1100 11(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1001 1011 1001 0111 1001 1100 1001 1110 1011 1100 11(2) × 20 =

1,0111 0100 1110 0110 1110 0101 1110 0111 0010 0111 1010 1111 0011(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 1110 0110 1110 0101 1110 0111 0010 0111 1010 1111 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 1110 0110 1110 0101 1110 0111 0010 0111 1010 1111 0011 =

0111 0100 1110 0110 1110 0101 1110 0111 0010 0111 1010 1111 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 1110 0110 1110 0101 1110 0111 0010 0111 1010 1111 0011


Numărul zecimal 0,000 000 347 292 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0100 1110 0110 1110 0101 1110 0111 0010 0111 1010 1111 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 347 201 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100