0,000 000 347 74 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 347 74(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 347 74(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 347 74.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 347 74 × 2 = 0 + 0,000 000 695 48;
  • 2) 0,000 000 695 48 × 2 = 0 + 0,000 001 390 96;
  • 3) 0,000 001 390 96 × 2 = 0 + 0,000 002 781 92;
  • 4) 0,000 002 781 92 × 2 = 0 + 0,000 005 563 84;
  • 5) 0,000 005 563 84 × 2 = 0 + 0,000 011 127 68;
  • 6) 0,000 011 127 68 × 2 = 0 + 0,000 022 255 36;
  • 7) 0,000 022 255 36 × 2 = 0 + 0,000 044 510 72;
  • 8) 0,000 044 510 72 × 2 = 0 + 0,000 089 021 44;
  • 9) 0,000 089 021 44 × 2 = 0 + 0,000 178 042 88;
  • 10) 0,000 178 042 88 × 2 = 0 + 0,000 356 085 76;
  • 11) 0,000 356 085 76 × 2 = 0 + 0,000 712 171 52;
  • 12) 0,000 712 171 52 × 2 = 0 + 0,001 424 343 04;
  • 13) 0,001 424 343 04 × 2 = 0 + 0,002 848 686 08;
  • 14) 0,002 848 686 08 × 2 = 0 + 0,005 697 372 16;
  • 15) 0,005 697 372 16 × 2 = 0 + 0,011 394 744 32;
  • 16) 0,011 394 744 32 × 2 = 0 + 0,022 789 488 64;
  • 17) 0,022 789 488 64 × 2 = 0 + 0,045 578 977 28;
  • 18) 0,045 578 977 28 × 2 = 0 + 0,091 157 954 56;
  • 19) 0,091 157 954 56 × 2 = 0 + 0,182 315 909 12;
  • 20) 0,182 315 909 12 × 2 = 0 + 0,364 631 818 24;
  • 21) 0,364 631 818 24 × 2 = 0 + 0,729 263 636 48;
  • 22) 0,729 263 636 48 × 2 = 1 + 0,458 527 272 96;
  • 23) 0,458 527 272 96 × 2 = 0 + 0,917 054 545 92;
  • 24) 0,917 054 545 92 × 2 = 1 + 0,834 109 091 84;
  • 25) 0,834 109 091 84 × 2 = 1 + 0,668 218 183 68;
  • 26) 0,668 218 183 68 × 2 = 1 + 0,336 436 367 36;
  • 27) 0,336 436 367 36 × 2 = 0 + 0,672 872 734 72;
  • 28) 0,672 872 734 72 × 2 = 1 + 0,345 745 469 44;
  • 29) 0,345 745 469 44 × 2 = 0 + 0,691 490 938 88;
  • 30) 0,691 490 938 88 × 2 = 1 + 0,382 981 877 76;
  • 31) 0,382 981 877 76 × 2 = 0 + 0,765 963 755 52;
  • 32) 0,765 963 755 52 × 2 = 1 + 0,531 927 511 04;
  • 33) 0,531 927 511 04 × 2 = 1 + 0,063 855 022 08;
  • 34) 0,063 855 022 08 × 2 = 0 + 0,127 710 044 16;
  • 35) 0,127 710 044 16 × 2 = 0 + 0,255 420 088 32;
  • 36) 0,255 420 088 32 × 2 = 0 + 0,510 840 176 64;
  • 37) 0,510 840 176 64 × 2 = 1 + 0,021 680 353 28;
  • 38) 0,021 680 353 28 × 2 = 0 + 0,043 360 706 56;
  • 39) 0,043 360 706 56 × 2 = 0 + 0,086 721 413 12;
  • 40) 0,086 721 413 12 × 2 = 0 + 0,173 442 826 24;
  • 41) 0,173 442 826 24 × 2 = 0 + 0,346 885 652 48;
  • 42) 0,346 885 652 48 × 2 = 0 + 0,693 771 304 96;
  • 43) 0,693 771 304 96 × 2 = 1 + 0,387 542 609 92;
  • 44) 0,387 542 609 92 × 2 = 0 + 0,775 085 219 84;
  • 45) 0,775 085 219 84 × 2 = 1 + 0,550 170 439 68;
  • 46) 0,550 170 439 68 × 2 = 1 + 0,100 340 879 36;
  • 47) 0,100 340 879 36 × 2 = 0 + 0,200 681 758 72;
  • 48) 0,200 681 758 72 × 2 = 0 + 0,401 363 517 44;
  • 49) 0,401 363 517 44 × 2 = 0 + 0,802 727 034 88;
  • 50) 0,802 727 034 88 × 2 = 1 + 0,605 454 069 76;
  • 51) 0,605 454 069 76 × 2 = 1 + 0,210 908 139 52;
  • 52) 0,210 908 139 52 × 2 = 0 + 0,421 816 279 04;
  • 53) 0,421 816 279 04 × 2 = 0 + 0,843 632 558 08;
  • 54) 0,843 632 558 08 × 2 = 1 + 0,687 265 116 16;
  • 55) 0,687 265 116 16 × 2 = 1 + 0,374 530 232 32;
  • 56) 0,374 530 232 32 × 2 = 0 + 0,749 060 464 64;
  • 57) 0,749 060 464 64 × 2 = 1 + 0,498 120 929 28;
  • 58) 0,498 120 929 28 × 2 = 0 + 0,996 241 858 56;
  • 59) 0,996 241 858 56 × 2 = 1 + 0,992 483 717 12;
  • 60) 0,992 483 717 12 × 2 = 1 + 0,984 967 434 24;
  • 61) 0,984 967 434 24 × 2 = 1 + 0,969 934 868 48;
  • 62) 0,969 934 868 48 × 2 = 1 + 0,939 869 736 96;
  • 63) 0,939 869 736 96 × 2 = 1 + 0,879 739 473 92;
  • 64) 0,879 739 473 92 × 2 = 1 + 0,759 478 947 84;
  • 65) 0,759 478 947 84 × 2 = 1 + 0,518 957 895 68;
  • 66) 0,518 957 895 68 × 2 = 1 + 0,037 915 791 36;
  • 67) 0,037 915 791 36 × 2 = 0 + 0,075 831 582 72;
  • 68) 0,075 831 582 72 × 2 = 0 + 0,151 663 165 44;
  • 69) 0,151 663 165 44 × 2 = 0 + 0,303 326 330 88;
  • 70) 0,303 326 330 88 × 2 = 0 + 0,606 652 661 76;
  • 71) 0,606 652 661 76 × 2 = 1 + 0,213 305 323 52;
  • 72) 0,213 305 323 52 × 2 = 0 + 0,426 610 647 04;
  • 73) 0,426 610 647 04 × 2 = 0 + 0,853 221 294 08;
  • 74) 0,853 221 294 08 × 2 = 1 + 0,706 442 588 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 347 74(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0101 1000 1000 0010 1100 0110 0110 1011 1111 1100 0010 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 347 74(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0101 1000 1000 0010 1100 0110 0110 1011 1111 1100 0010 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 347 74(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0101 1000 1000 0010 1100 0110 0110 1011 1111 1100 0010 01(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0101 1000 1000 0010 1100 0110 0110 1011 1111 1100 0010 01(2) × 20 =

1,0111 0101 0110 0010 0000 1011 0001 1001 1010 1111 1111 0000 1001(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0101 0110 0010 0000 1011 0001 1001 1010 1111 1111 0000 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0101 0110 0010 0000 1011 0001 1001 1010 1111 1111 0000 1001 =

0111 0101 0110 0010 0000 1011 0001 1001 1010 1111 1111 0000 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0101 0110 0010 0000 1011 0001 1001 1010 1111 1111 0000 1001


Numărul zecimal 0,000 000 347 74 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0101 0110 0010 0000 1011 0001 1001 1010 1111 1111 0000 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 346 76 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100