0,000 030 227 005 481 615 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 030 227 005 481 615(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 030 227 005 481 615(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 030 227 005 481 615.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 030 227 005 481 615 × 2 = 0 + 0,000 060 454 010 963 23;
  • 2) 0,000 060 454 010 963 23 × 2 = 0 + 0,000 120 908 021 926 46;
  • 3) 0,000 120 908 021 926 46 × 2 = 0 + 0,000 241 816 043 852 92;
  • 4) 0,000 241 816 043 852 92 × 2 = 0 + 0,000 483 632 087 705 84;
  • 5) 0,000 483 632 087 705 84 × 2 = 0 + 0,000 967 264 175 411 68;
  • 6) 0,000 967 264 175 411 68 × 2 = 0 + 0,001 934 528 350 823 36;
  • 7) 0,001 934 528 350 823 36 × 2 = 0 + 0,003 869 056 701 646 72;
  • 8) 0,003 869 056 701 646 72 × 2 = 0 + 0,007 738 113 403 293 44;
  • 9) 0,007 738 113 403 293 44 × 2 = 0 + 0,015 476 226 806 586 88;
  • 10) 0,015 476 226 806 586 88 × 2 = 0 + 0,030 952 453 613 173 76;
  • 11) 0,030 952 453 613 173 76 × 2 = 0 + 0,061 904 907 226 347 52;
  • 12) 0,061 904 907 226 347 52 × 2 = 0 + 0,123 809 814 452 695 04;
  • 13) 0,123 809 814 452 695 04 × 2 = 0 + 0,247 619 628 905 390 08;
  • 14) 0,247 619 628 905 390 08 × 2 = 0 + 0,495 239 257 810 780 16;
  • 15) 0,495 239 257 810 780 16 × 2 = 0 + 0,990 478 515 621 560 32;
  • 16) 0,990 478 515 621 560 32 × 2 = 1 + 0,980 957 031 243 120 64;
  • 17) 0,980 957 031 243 120 64 × 2 = 1 + 0,961 914 062 486 241 28;
  • 18) 0,961 914 062 486 241 28 × 2 = 1 + 0,923 828 124 972 482 56;
  • 19) 0,923 828 124 972 482 56 × 2 = 1 + 0,847 656 249 944 965 12;
  • 20) 0,847 656 249 944 965 12 × 2 = 1 + 0,695 312 499 889 930 24;
  • 21) 0,695 312 499 889 930 24 × 2 = 1 + 0,390 624 999 779 860 48;
  • 22) 0,390 624 999 779 860 48 × 2 = 0 + 0,781 249 999 559 720 96;
  • 23) 0,781 249 999 559 720 96 × 2 = 1 + 0,562 499 999 119 441 92;
  • 24) 0,562 499 999 119 441 92 × 2 = 1 + 0,124 999 998 238 883 84;
  • 25) 0,124 999 998 238 883 84 × 2 = 0 + 0,249 999 996 477 767 68;
  • 26) 0,249 999 996 477 767 68 × 2 = 0 + 0,499 999 992 955 535 36;
  • 27) 0,499 999 992 955 535 36 × 2 = 0 + 0,999 999 985 911 070 72;
  • 28) 0,999 999 985 911 070 72 × 2 = 1 + 0,999 999 971 822 141 44;
  • 29) 0,999 999 971 822 141 44 × 2 = 1 + 0,999 999 943 644 282 88;
  • 30) 0,999 999 943 644 282 88 × 2 = 1 + 0,999 999 887 288 565 76;
  • 31) 0,999 999 887 288 565 76 × 2 = 1 + 0,999 999 774 577 131 52;
  • 32) 0,999 999 774 577 131 52 × 2 = 1 + 0,999 999 549 154 263 04;
  • 33) 0,999 999 549 154 263 04 × 2 = 1 + 0,999 999 098 308 526 08;
  • 34) 0,999 999 098 308 526 08 × 2 = 1 + 0,999 998 196 617 052 16;
  • 35) 0,999 998 196 617 052 16 × 2 = 1 + 0,999 996 393 234 104 32;
  • 36) 0,999 996 393 234 104 32 × 2 = 1 + 0,999 992 786 468 208 64;
  • 37) 0,999 992 786 468 208 64 × 2 = 1 + 0,999 985 572 936 417 28;
  • 38) 0,999 985 572 936 417 28 × 2 = 1 + 0,999 971 145 872 834 56;
  • 39) 0,999 971 145 872 834 56 × 2 = 1 + 0,999 942 291 745 669 12;
  • 40) 0,999 942 291 745 669 12 × 2 = 1 + 0,999 884 583 491 338 24;
  • 41) 0,999 884 583 491 338 24 × 2 = 1 + 0,999 769 166 982 676 48;
  • 42) 0,999 769 166 982 676 48 × 2 = 1 + 0,999 538 333 965 352 96;
  • 43) 0,999 538 333 965 352 96 × 2 = 1 + 0,999 076 667 930 705 92;
  • 44) 0,999 076 667 930 705 92 × 2 = 1 + 0,998 153 335 861 411 84;
  • 45) 0,998 153 335 861 411 84 × 2 = 1 + 0,996 306 671 722 823 68;
  • 46) 0,996 306 671 722 823 68 × 2 = 1 + 0,992 613 343 445 647 36;
  • 47) 0,992 613 343 445 647 36 × 2 = 1 + 0,985 226 686 891 294 72;
  • 48) 0,985 226 686 891 294 72 × 2 = 1 + 0,970 453 373 782 589 44;
  • 49) 0,970 453 373 782 589 44 × 2 = 1 + 0,940 906 747 565 178 88;
  • 50) 0,940 906 747 565 178 88 × 2 = 1 + 0,881 813 495 130 357 76;
  • 51) 0,881 813 495 130 357 76 × 2 = 1 + 0,763 626 990 260 715 52;
  • 52) 0,763 626 990 260 715 52 × 2 = 1 + 0,527 253 980 521 431 04;
  • 53) 0,527 253 980 521 431 04 × 2 = 1 + 0,054 507 961 042 862 08;
  • 54) 0,054 507 961 042 862 08 × 2 = 0 + 0,109 015 922 085 724 16;
  • 55) 0,109 015 922 085 724 16 × 2 = 0 + 0,218 031 844 171 448 32;
  • 56) 0,218 031 844 171 448 32 × 2 = 0 + 0,436 063 688 342 896 64;
  • 57) 0,436 063 688 342 896 64 × 2 = 0 + 0,872 127 376 685 793 28;
  • 58) 0,872 127 376 685 793 28 × 2 = 1 + 0,744 254 753 371 586 56;
  • 59) 0,744 254 753 371 586 56 × 2 = 1 + 0,488 509 506 743 173 12;
  • 60) 0,488 509 506 743 173 12 × 2 = 0 + 0,977 019 013 486 346 24;
  • 61) 0,977 019 013 486 346 24 × 2 = 1 + 0,954 038 026 972 692 48;
  • 62) 0,954 038 026 972 692 48 × 2 = 1 + 0,908 076 053 945 384 96;
  • 63) 0,908 076 053 945 384 96 × 2 = 1 + 0,816 152 107 890 769 92;
  • 64) 0,816 152 107 890 769 92 × 2 = 1 + 0,632 304 215 781 539 84;
  • 65) 0,632 304 215 781 539 84 × 2 = 1 + 0,264 608 431 563 079 68;
  • 66) 0,264 608 431 563 079 68 × 2 = 0 + 0,529 216 863 126 159 36;
  • 67) 0,529 216 863 126 159 36 × 2 = 1 + 0,058 433 726 252 318 72;
  • 68) 0,058 433 726 252 318 72 × 2 = 0 + 0,116 867 452 504 637 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 030 227 005 481 615(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 030 227 005 481 615(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 030 227 005 481 615(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010(2) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010(2) × 20 =

1,1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010(2) × 2-16


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -16

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-16 + 2(11-1) - 1 =

(-16 + 1 023)(10) =

1 007(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 007 : 2 = 503 + 1;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1007(10) =

011 1110 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010 =

1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1111

Mantisă (52 biți) =
1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010


Numărul zecimal 0,000 030 227 005 481 615 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1111 - 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1111 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 030 227 005 481 587 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100