0,000 046 473 597 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 597(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 597(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 597.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 597 × 2 = 0 + 0,000 092 947 194;
  • 2) 0,000 092 947 194 × 2 = 0 + 0,000 185 894 388;
  • 3) 0,000 185 894 388 × 2 = 0 + 0,000 371 788 776;
  • 4) 0,000 371 788 776 × 2 = 0 + 0,000 743 577 552;
  • 5) 0,000 743 577 552 × 2 = 0 + 0,001 487 155 104;
  • 6) 0,001 487 155 104 × 2 = 0 + 0,002 974 310 208;
  • 7) 0,002 974 310 208 × 2 = 0 + 0,005 948 620 416;
  • 8) 0,005 948 620 416 × 2 = 0 + 0,011 897 240 832;
  • 9) 0,011 897 240 832 × 2 = 0 + 0,023 794 481 664;
  • 10) 0,023 794 481 664 × 2 = 0 + 0,047 588 963 328;
  • 11) 0,047 588 963 328 × 2 = 0 + 0,095 177 926 656;
  • 12) 0,095 177 926 656 × 2 = 0 + 0,190 355 853 312;
  • 13) 0,190 355 853 312 × 2 = 0 + 0,380 711 706 624;
  • 14) 0,380 711 706 624 × 2 = 0 + 0,761 423 413 248;
  • 15) 0,761 423 413 248 × 2 = 1 + 0,522 846 826 496;
  • 16) 0,522 846 826 496 × 2 = 1 + 0,045 693 652 992;
  • 17) 0,045 693 652 992 × 2 = 0 + 0,091 387 305 984;
  • 18) 0,091 387 305 984 × 2 = 0 + 0,182 774 611 968;
  • 19) 0,182 774 611 968 × 2 = 0 + 0,365 549 223 936;
  • 20) 0,365 549 223 936 × 2 = 0 + 0,731 098 447 872;
  • 21) 0,731 098 447 872 × 2 = 1 + 0,462 196 895 744;
  • 22) 0,462 196 895 744 × 2 = 0 + 0,924 393 791 488;
  • 23) 0,924 393 791 488 × 2 = 1 + 0,848 787 582 976;
  • 24) 0,848 787 582 976 × 2 = 1 + 0,697 575 165 952;
  • 25) 0,697 575 165 952 × 2 = 1 + 0,395 150 331 904;
  • 26) 0,395 150 331 904 × 2 = 0 + 0,790 300 663 808;
  • 27) 0,790 300 663 808 × 2 = 1 + 0,580 601 327 616;
  • 28) 0,580 601 327 616 × 2 = 1 + 0,161 202 655 232;
  • 29) 0,161 202 655 232 × 2 = 0 + 0,322 405 310 464;
  • 30) 0,322 405 310 464 × 2 = 0 + 0,644 810 620 928;
  • 31) 0,644 810 620 928 × 2 = 1 + 0,289 621 241 856;
  • 32) 0,289 621 241 856 × 2 = 0 + 0,579 242 483 712;
  • 33) 0,579 242 483 712 × 2 = 1 + 0,158 484 967 424;
  • 34) 0,158 484 967 424 × 2 = 0 + 0,316 969 934 848;
  • 35) 0,316 969 934 848 × 2 = 0 + 0,633 939 869 696;
  • 36) 0,633 939 869 696 × 2 = 1 + 0,267 879 739 392;
  • 37) 0,267 879 739 392 × 2 = 0 + 0,535 759 478 784;
  • 38) 0,535 759 478 784 × 2 = 1 + 0,071 518 957 568;
  • 39) 0,071 518 957 568 × 2 = 0 + 0,143 037 915 136;
  • 40) 0,143 037 915 136 × 2 = 0 + 0,286 075 830 272;
  • 41) 0,286 075 830 272 × 2 = 0 + 0,572 151 660 544;
  • 42) 0,572 151 660 544 × 2 = 1 + 0,144 303 321 088;
  • 43) 0,144 303 321 088 × 2 = 0 + 0,288 606 642 176;
  • 44) 0,288 606 642 176 × 2 = 0 + 0,577 213 284 352;
  • 45) 0,577 213 284 352 × 2 = 1 + 0,154 426 568 704;
  • 46) 0,154 426 568 704 × 2 = 0 + 0,308 853 137 408;
  • 47) 0,308 853 137 408 × 2 = 0 + 0,617 706 274 816;
  • 48) 0,617 706 274 816 × 2 = 1 + 0,235 412 549 632;
  • 49) 0,235 412 549 632 × 2 = 0 + 0,470 825 099 264;
  • 50) 0,470 825 099 264 × 2 = 0 + 0,941 650 198 528;
  • 51) 0,941 650 198 528 × 2 = 1 + 0,883 300 397 056;
  • 52) 0,883 300 397 056 × 2 = 1 + 0,766 600 794 112;
  • 53) 0,766 600 794 112 × 2 = 1 + 0,533 201 588 224;
  • 54) 0,533 201 588 224 × 2 = 1 + 0,066 403 176 448;
  • 55) 0,066 403 176 448 × 2 = 0 + 0,132 806 352 896;
  • 56) 0,132 806 352 896 × 2 = 0 + 0,265 612 705 792;
  • 57) 0,265 612 705 792 × 2 = 0 + 0,531 225 411 584;
  • 58) 0,531 225 411 584 × 2 = 1 + 0,062 450 823 168;
  • 59) 0,062 450 823 168 × 2 = 0 + 0,124 901 646 336;
  • 60) 0,124 901 646 336 × 2 = 0 + 0,249 803 292 672;
  • 61) 0,249 803 292 672 × 2 = 0 + 0,499 606 585 344;
  • 62) 0,499 606 585 344 × 2 = 0 + 0,999 213 170 688;
  • 63) 0,999 213 170 688 × 2 = 1 + 0,998 426 341 376;
  • 64) 0,998 426 341 376 × 2 = 1 + 0,996 852 682 752;
  • 65) 0,996 852 682 752 × 2 = 1 + 0,993 705 365 504;
  • 66) 0,993 705 365 504 × 2 = 1 + 0,987 410 731 008;
  • 67) 0,987 410 731 008 × 2 = 1 + 0,974 821 462 016;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 597(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 0100 0100 1001 0011 1100 0100 0011 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 597(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 0100 0100 1001 0011 1100 0100 0011 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 597(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 0100 0100 1001 0011 1100 0100 0011 111(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 0100 0100 1001 0011 1100 0100 0011 111(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 0100 1010 0010 0100 1001 1110 0010 0001 1111(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 0100 1010 0010 0100 1001 1110 0010 0001 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 0100 1010 0010 0100 1001 1110 0010 0001 1111 =

1000 0101 1101 1001 0100 1010 0010 0100 1001 1110 0010 0001 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 0100 1010 0010 0100 1001 1110 0010 0001 1111


Numărul zecimal 0,000 046 473 597 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 0100 1010 0010 0100 1001 1110 0010 0001 1111

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 621 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100