0,000 046 473 642 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 642(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 642(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 642.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 642 × 2 = 0 + 0,000 092 947 284;
  • 2) 0,000 092 947 284 × 2 = 0 + 0,000 185 894 568;
  • 3) 0,000 185 894 568 × 2 = 0 + 0,000 371 789 136;
  • 4) 0,000 371 789 136 × 2 = 0 + 0,000 743 578 272;
  • 5) 0,000 743 578 272 × 2 = 0 + 0,001 487 156 544;
  • 6) 0,001 487 156 544 × 2 = 0 + 0,002 974 313 088;
  • 7) 0,002 974 313 088 × 2 = 0 + 0,005 948 626 176;
  • 8) 0,005 948 626 176 × 2 = 0 + 0,011 897 252 352;
  • 9) 0,011 897 252 352 × 2 = 0 + 0,023 794 504 704;
  • 10) 0,023 794 504 704 × 2 = 0 + 0,047 589 009 408;
  • 11) 0,047 589 009 408 × 2 = 0 + 0,095 178 018 816;
  • 12) 0,095 178 018 816 × 2 = 0 + 0,190 356 037 632;
  • 13) 0,190 356 037 632 × 2 = 0 + 0,380 712 075 264;
  • 14) 0,380 712 075 264 × 2 = 0 + 0,761 424 150 528;
  • 15) 0,761 424 150 528 × 2 = 1 + 0,522 848 301 056;
  • 16) 0,522 848 301 056 × 2 = 1 + 0,045 696 602 112;
  • 17) 0,045 696 602 112 × 2 = 0 + 0,091 393 204 224;
  • 18) 0,091 393 204 224 × 2 = 0 + 0,182 786 408 448;
  • 19) 0,182 786 408 448 × 2 = 0 + 0,365 572 816 896;
  • 20) 0,365 572 816 896 × 2 = 0 + 0,731 145 633 792;
  • 21) 0,731 145 633 792 × 2 = 1 + 0,462 291 267 584;
  • 22) 0,462 291 267 584 × 2 = 0 + 0,924 582 535 168;
  • 23) 0,924 582 535 168 × 2 = 1 + 0,849 165 070 336;
  • 24) 0,849 165 070 336 × 2 = 1 + 0,698 330 140 672;
  • 25) 0,698 330 140 672 × 2 = 1 + 0,396 660 281 344;
  • 26) 0,396 660 281 344 × 2 = 0 + 0,793 320 562 688;
  • 27) 0,793 320 562 688 × 2 = 1 + 0,586 641 125 376;
  • 28) 0,586 641 125 376 × 2 = 1 + 0,173 282 250 752;
  • 29) 0,173 282 250 752 × 2 = 0 + 0,346 564 501 504;
  • 30) 0,346 564 501 504 × 2 = 0 + 0,693 129 003 008;
  • 31) 0,693 129 003 008 × 2 = 1 + 0,386 258 006 016;
  • 32) 0,386 258 006 016 × 2 = 0 + 0,772 516 012 032;
  • 33) 0,772 516 012 032 × 2 = 1 + 0,545 032 024 064;
  • 34) 0,545 032 024 064 × 2 = 1 + 0,090 064 048 128;
  • 35) 0,090 064 048 128 × 2 = 0 + 0,180 128 096 256;
  • 36) 0,180 128 096 256 × 2 = 0 + 0,360 256 192 512;
  • 37) 0,360 256 192 512 × 2 = 0 + 0,720 512 385 024;
  • 38) 0,720 512 385 024 × 2 = 1 + 0,441 024 770 048;
  • 39) 0,441 024 770 048 × 2 = 0 + 0,882 049 540 096;
  • 40) 0,882 049 540 096 × 2 = 1 + 0,764 099 080 192;
  • 41) 0,764 099 080 192 × 2 = 1 + 0,528 198 160 384;
  • 42) 0,528 198 160 384 × 2 = 1 + 0,056 396 320 768;
  • 43) 0,056 396 320 768 × 2 = 0 + 0,112 792 641 536;
  • 44) 0,112 792 641 536 × 2 = 0 + 0,225 585 283 072;
  • 45) 0,225 585 283 072 × 2 = 0 + 0,451 170 566 144;
  • 46) 0,451 170 566 144 × 2 = 0 + 0,902 341 132 288;
  • 47) 0,902 341 132 288 × 2 = 1 + 0,804 682 264 576;
  • 48) 0,804 682 264 576 × 2 = 1 + 0,609 364 529 152;
  • 49) 0,609 364 529 152 × 2 = 1 + 0,218 729 058 304;
  • 50) 0,218 729 058 304 × 2 = 0 + 0,437 458 116 608;
  • 51) 0,437 458 116 608 × 2 = 0 + 0,874 916 233 216;
  • 52) 0,874 916 233 216 × 2 = 1 + 0,749 832 466 432;
  • 53) 0,749 832 466 432 × 2 = 1 + 0,499 664 932 864;
  • 54) 0,499 664 932 864 × 2 = 0 + 0,999 329 865 728;
  • 55) 0,999 329 865 728 × 2 = 1 + 0,998 659 731 456;
  • 56) 0,998 659 731 456 × 2 = 1 + 0,997 319 462 912;
  • 57) 0,997 319 462 912 × 2 = 1 + 0,994 638 925 824;
  • 58) 0,994 638 925 824 × 2 = 1 + 0,989 277 851 648;
  • 59) 0,989 277 851 648 × 2 = 1 + 0,978 555 703 296;
  • 60) 0,978 555 703 296 × 2 = 1 + 0,957 111 406 592;
  • 61) 0,957 111 406 592 × 2 = 1 + 0,914 222 813 184;
  • 62) 0,914 222 813 184 × 2 = 1 + 0,828 445 626 368;
  • 63) 0,828 445 626 368 × 2 = 1 + 0,656 891 252 736;
  • 64) 0,656 891 252 736 × 2 = 1 + 0,313 782 505 472;
  • 65) 0,313 782 505 472 × 2 = 0 + 0,627 565 010 944;
  • 66) 0,627 565 010 944 × 2 = 1 + 0,255 130 021 888;
  • 67) 0,255 130 021 888 × 2 = 0 + 0,510 260 043 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 642(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1100 0101 1100 0011 1001 1011 1111 1111 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 642(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1100 0101 1100 0011 1001 1011 1111 1111 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 642(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1100 0101 1100 0011 1001 1011 1111 1111 010(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1100 0101 1100 0011 1001 1011 1111 1111 010(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 0110 0010 1110 0001 1100 1101 1111 1111 1010(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 0110 0010 1110 0001 1100 1101 1111 1111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 0110 0010 1110 0001 1100 1101 1111 1111 1010 =

1000 0101 1101 1001 0110 0010 1110 0001 1100 1101 1111 1111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 0110 0010 1110 0001 1100 1101 1111 1111 1010


Numărul zecimal 0,000 046 473 642 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 0110 0010 1110 0001 1100 1101 1111 1111 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 605 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100