0,000 046 473 737 953 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 953 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 953 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 953 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 953 4 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 906 8;
  • 2) 0,000 092 947 475 906 8 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 813 6;
  • 3) 0,000 185 894 951 813 6 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 627 2;
  • 4) 0,000 371 789 903 627 2 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 254 4;
  • 5) 0,000 743 579 807 254 4 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 508 8;
  • 6) 0,001 487 159 614 508 8 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 017 6;
  • 7) 0,002 974 319 229 017 6 × 2 = 0 + 0,005 948 638 458 035 2;
  • 8) 0,005 948 638 458 035 2 × 2 = 0 + 0,011 897 276 916 070 4;
  • 9) 0,011 897 276 916 070 4 × 2 = 0 + 0,023 794 553 832 140 8;
  • 10) 0,023 794 553 832 140 8 × 2 = 0 + 0,047 589 107 664 281 6;
  • 11) 0,047 589 107 664 281 6 × 2 = 0 + 0,095 178 215 328 563 2;
  • 12) 0,095 178 215 328 563 2 × 2 = 0 + 0,190 356 430 657 126 4;
  • 13) 0,190 356 430 657 126 4 × 2 = 0 + 0,380 712 861 314 252 8;
  • 14) 0,380 712 861 314 252 8 × 2 = 0 + 0,761 425 722 628 505 6;
  • 15) 0,761 425 722 628 505 6 × 2 = 1 + 0,522 851 445 257 011 2;
  • 16) 0,522 851 445 257 011 2 × 2 = 1 + 0,045 702 890 514 022 4;
  • 17) 0,045 702 890 514 022 4 × 2 = 0 + 0,091 405 781 028 044 8;
  • 18) 0,091 405 781 028 044 8 × 2 = 0 + 0,182 811 562 056 089 6;
  • 19) 0,182 811 562 056 089 6 × 2 = 0 + 0,365 623 124 112 179 2;
  • 20) 0,365 623 124 112 179 2 × 2 = 0 + 0,731 246 248 224 358 4;
  • 21) 0,731 246 248 224 358 4 × 2 = 1 + 0,462 492 496 448 716 8;
  • 22) 0,462 492 496 448 716 8 × 2 = 0 + 0,924 984 992 897 433 6;
  • 23) 0,924 984 992 897 433 6 × 2 = 1 + 0,849 969 985 794 867 2;
  • 24) 0,849 969 985 794 867 2 × 2 = 1 + 0,699 939 971 589 734 4;
  • 25) 0,699 939 971 589 734 4 × 2 = 1 + 0,399 879 943 179 468 8;
  • 26) 0,399 879 943 179 468 8 × 2 = 0 + 0,799 759 886 358 937 6;
  • 27) 0,799 759 886 358 937 6 × 2 = 1 + 0,599 519 772 717 875 2;
  • 28) 0,599 519 772 717 875 2 × 2 = 1 + 0,199 039 545 435 750 4;
  • 29) 0,199 039 545 435 750 4 × 2 = 0 + 0,398 079 090 871 500 8;
  • 30) 0,398 079 090 871 500 8 × 2 = 0 + 0,796 158 181 743 001 6;
  • 31) 0,796 158 181 743 001 6 × 2 = 1 + 0,592 316 363 486 003 2;
  • 32) 0,592 316 363 486 003 2 × 2 = 1 + 0,184 632 726 972 006 4;
  • 33) 0,184 632 726 972 006 4 × 2 = 0 + 0,369 265 453 944 012 8;
  • 34) 0,369 265 453 944 012 8 × 2 = 0 + 0,738 530 907 888 025 6;
  • 35) 0,738 530 907 888 025 6 × 2 = 1 + 0,477 061 815 776 051 2;
  • 36) 0,477 061 815 776 051 2 × 2 = 0 + 0,954 123 631 552 102 4;
  • 37) 0,954 123 631 552 102 4 × 2 = 1 + 0,908 247 263 104 204 8;
  • 38) 0,908 247 263 104 204 8 × 2 = 1 + 0,816 494 526 208 409 6;
  • 39) 0,816 494 526 208 409 6 × 2 = 1 + 0,632 989 052 416 819 2;
  • 40) 0,632 989 052 416 819 2 × 2 = 1 + 0,265 978 104 833 638 4;
  • 41) 0,265 978 104 833 638 4 × 2 = 0 + 0,531 956 209 667 276 8;
  • 42) 0,531 956 209 667 276 8 × 2 = 1 + 0,063 912 419 334 553 6;
  • 43) 0,063 912 419 334 553 6 × 2 = 0 + 0,127 824 838 669 107 2;
  • 44) 0,127 824 838 669 107 2 × 2 = 0 + 0,255 649 677 338 214 4;
  • 45) 0,255 649 677 338 214 4 × 2 = 0 + 0,511 299 354 676 428 8;
  • 46) 0,511 299 354 676 428 8 × 2 = 1 + 0,022 598 709 352 857 6;
  • 47) 0,022 598 709 352 857 6 × 2 = 0 + 0,045 197 418 705 715 2;
  • 48) 0,045 197 418 705 715 2 × 2 = 0 + 0,090 394 837 411 430 4;
  • 49) 0,090 394 837 411 430 4 × 2 = 0 + 0,180 789 674 822 860 8;
  • 50) 0,180 789 674 822 860 8 × 2 = 0 + 0,361 579 349 645 721 6;
  • 51) 0,361 579 349 645 721 6 × 2 = 0 + 0,723 158 699 291 443 2;
  • 52) 0,723 158 699 291 443 2 × 2 = 1 + 0,446 317 398 582 886 4;
  • 53) 0,446 317 398 582 886 4 × 2 = 0 + 0,892 634 797 165 772 8;
  • 54) 0,892 634 797 165 772 8 × 2 = 1 + 0,785 269 594 331 545 6;
  • 55) 0,785 269 594 331 545 6 × 2 = 1 + 0,570 539 188 663 091 2;
  • 56) 0,570 539 188 663 091 2 × 2 = 1 + 0,141 078 377 326 182 4;
  • 57) 0,141 078 377 326 182 4 × 2 = 0 + 0,282 156 754 652 364 8;
  • 58) 0,282 156 754 652 364 8 × 2 = 0 + 0,564 313 509 304 729 6;
  • 59) 0,564 313 509 304 729 6 × 2 = 1 + 0,128 627 018 609 459 2;
  • 60) 0,128 627 018 609 459 2 × 2 = 0 + 0,257 254 037 218 918 4;
  • 61) 0,257 254 037 218 918 4 × 2 = 0 + 0,514 508 074 437 836 8;
  • 62) 0,514 508 074 437 836 8 × 2 = 1 + 0,029 016 148 875 673 6;
  • 63) 0,029 016 148 875 673 6 × 2 = 0 + 0,058 032 297 751 347 2;
  • 64) 0,058 032 297 751 347 2 × 2 = 0 + 0,116 064 595 502 694 4;
  • 65) 0,116 064 595 502 694 4 × 2 = 0 + 0,232 129 191 005 388 8;
  • 66) 0,232 129 191 005 388 8 × 2 = 0 + 0,464 258 382 010 777 6;
  • 67) 0,464 258 382 010 777 6 × 2 = 0 + 0,928 516 764 021 555 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 953 4(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0001 0111 0010 0100 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 953 4(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0001 0111 0010 0100 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 953 4(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0001 0111 0010 0100 000(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0001 0111 0010 0100 000(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0000 1011 1001 0010 0000(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0000 1011 1001 0010 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0000 1011 1001 0010 0000 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0000 1011 1001 0010 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0000 1011 1001 0010 0000


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 953 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0000 1011 1001 0010 0000

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 737 954 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100