0,000 046 473 737 960 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 960 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 960 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 960 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 960 9 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 921 8;
  • 2) 0,000 092 947 475 921 8 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 843 6;
  • 3) 0,000 185 894 951 843 6 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 687 2;
  • 4) 0,000 371 789 903 687 2 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 374 4;
  • 5) 0,000 743 579 807 374 4 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 748 8;
  • 6) 0,001 487 159 614 748 8 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 497 6;
  • 7) 0,002 974 319 229 497 6 × 2 = 0 + 0,005 948 638 458 995 2;
  • 8) 0,005 948 638 458 995 2 × 2 = 0 + 0,011 897 276 917 990 4;
  • 9) 0,011 897 276 917 990 4 × 2 = 0 + 0,023 794 553 835 980 8;
  • 10) 0,023 794 553 835 980 8 × 2 = 0 + 0,047 589 107 671 961 6;
  • 11) 0,047 589 107 671 961 6 × 2 = 0 + 0,095 178 215 343 923 2;
  • 12) 0,095 178 215 343 923 2 × 2 = 0 + 0,190 356 430 687 846 4;
  • 13) 0,190 356 430 687 846 4 × 2 = 0 + 0,380 712 861 375 692 8;
  • 14) 0,380 712 861 375 692 8 × 2 = 0 + 0,761 425 722 751 385 6;
  • 15) 0,761 425 722 751 385 6 × 2 = 1 + 0,522 851 445 502 771 2;
  • 16) 0,522 851 445 502 771 2 × 2 = 1 + 0,045 702 891 005 542 4;
  • 17) 0,045 702 891 005 542 4 × 2 = 0 + 0,091 405 782 011 084 8;
  • 18) 0,091 405 782 011 084 8 × 2 = 0 + 0,182 811 564 022 169 6;
  • 19) 0,182 811 564 022 169 6 × 2 = 0 + 0,365 623 128 044 339 2;
  • 20) 0,365 623 128 044 339 2 × 2 = 0 + 0,731 246 256 088 678 4;
  • 21) 0,731 246 256 088 678 4 × 2 = 1 + 0,462 492 512 177 356 8;
  • 22) 0,462 492 512 177 356 8 × 2 = 0 + 0,924 985 024 354 713 6;
  • 23) 0,924 985 024 354 713 6 × 2 = 1 + 0,849 970 048 709 427 2;
  • 24) 0,849 970 048 709 427 2 × 2 = 1 + 0,699 940 097 418 854 4;
  • 25) 0,699 940 097 418 854 4 × 2 = 1 + 0,399 880 194 837 708 8;
  • 26) 0,399 880 194 837 708 8 × 2 = 0 + 0,799 760 389 675 417 6;
  • 27) 0,799 760 389 675 417 6 × 2 = 1 + 0,599 520 779 350 835 2;
  • 28) 0,599 520 779 350 835 2 × 2 = 1 + 0,199 041 558 701 670 4;
  • 29) 0,199 041 558 701 670 4 × 2 = 0 + 0,398 083 117 403 340 8;
  • 30) 0,398 083 117 403 340 8 × 2 = 0 + 0,796 166 234 806 681 6;
  • 31) 0,796 166 234 806 681 6 × 2 = 1 + 0,592 332 469 613 363 2;
  • 32) 0,592 332 469 613 363 2 × 2 = 1 + 0,184 664 939 226 726 4;
  • 33) 0,184 664 939 226 726 4 × 2 = 0 + 0,369 329 878 453 452 8;
  • 34) 0,369 329 878 453 452 8 × 2 = 0 + 0,738 659 756 906 905 6;
  • 35) 0,738 659 756 906 905 6 × 2 = 1 + 0,477 319 513 813 811 2;
  • 36) 0,477 319 513 813 811 2 × 2 = 0 + 0,954 639 027 627 622 4;
  • 37) 0,954 639 027 627 622 4 × 2 = 1 + 0,909 278 055 255 244 8;
  • 38) 0,909 278 055 255 244 8 × 2 = 1 + 0,818 556 110 510 489 6;
  • 39) 0,818 556 110 510 489 6 × 2 = 1 + 0,637 112 221 020 979 2;
  • 40) 0,637 112 221 020 979 2 × 2 = 1 + 0,274 224 442 041 958 4;
  • 41) 0,274 224 442 041 958 4 × 2 = 0 + 0,548 448 884 083 916 8;
  • 42) 0,548 448 884 083 916 8 × 2 = 1 + 0,096 897 768 167 833 6;
  • 43) 0,096 897 768 167 833 6 × 2 = 0 + 0,193 795 536 335 667 2;
  • 44) 0,193 795 536 335 667 2 × 2 = 0 + 0,387 591 072 671 334 4;
  • 45) 0,387 591 072 671 334 4 × 2 = 0 + 0,775 182 145 342 668 8;
  • 46) 0,775 182 145 342 668 8 × 2 = 1 + 0,550 364 290 685 337 6;
  • 47) 0,550 364 290 685 337 6 × 2 = 1 + 0,100 728 581 370 675 2;
  • 48) 0,100 728 581 370 675 2 × 2 = 0 + 0,201 457 162 741 350 4;
  • 49) 0,201 457 162 741 350 4 × 2 = 0 + 0,402 914 325 482 700 8;
  • 50) 0,402 914 325 482 700 8 × 2 = 0 + 0,805 828 650 965 401 6;
  • 51) 0,805 828 650 965 401 6 × 2 = 1 + 0,611 657 301 930 803 2;
  • 52) 0,611 657 301 930 803 2 × 2 = 1 + 0,223 314 603 861 606 4;
  • 53) 0,223 314 603 861 606 4 × 2 = 0 + 0,446 629 207 723 212 8;
  • 54) 0,446 629 207 723 212 8 × 2 = 0 + 0,893 258 415 446 425 6;
  • 55) 0,893 258 415 446 425 6 × 2 = 1 + 0,786 516 830 892 851 2;
  • 56) 0,786 516 830 892 851 2 × 2 = 1 + 0,573 033 661 785 702 4;
  • 57) 0,573 033 661 785 702 4 × 2 = 1 + 0,146 067 323 571 404 8;
  • 58) 0,146 067 323 571 404 8 × 2 = 0 + 0,292 134 647 142 809 6;
  • 59) 0,292 134 647 142 809 6 × 2 = 0 + 0,584 269 294 285 619 2;
  • 60) 0,584 269 294 285 619 2 × 2 = 1 + 0,168 538 588 571 238 4;
  • 61) 0,168 538 588 571 238 4 × 2 = 0 + 0,337 077 177 142 476 8;
  • 62) 0,337 077 177 142 476 8 × 2 = 0 + 0,674 154 354 284 953 6;
  • 63) 0,674 154 354 284 953 6 × 2 = 1 + 0,348 308 708 569 907 2;
  • 64) 0,348 308 708 569 907 2 × 2 = 0 + 0,696 617 417 139 814 4;
  • 65) 0,696 617 417 139 814 4 × 2 = 1 + 0,393 234 834 279 628 8;
  • 66) 0,393 234 834 279 628 8 × 2 = 0 + 0,786 469 668 559 257 6;
  • 67) 0,786 469 668 559 257 6 × 2 = 1 + 0,572 939 337 118 515 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 960 9(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 0011 0011 1001 0010 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 960 9(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 0011 0011 1001 0010 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 960 9(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 0011 0011 1001 0010 101(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 0011 0011 1001 0010 101(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0001 1001 1100 1001 0101(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0001 1001 1100 1001 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0001 1001 1100 1001 0101 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0001 1001 1100 1001 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0001 1001 1100 1001 0101


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 960 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0001 1001 1100 1001 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 737 953 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100