0,000 046 473 737 963 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 963 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 963 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 963 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 963 5 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 927;
  • 2) 0,000 092 947 475 927 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 854;
  • 3) 0,000 185 894 951 854 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 708;
  • 4) 0,000 371 789 903 708 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 416;
  • 5) 0,000 743 579 807 416 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 832;
  • 6) 0,001 487 159 614 832 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 664;
  • 7) 0,002 974 319 229 664 × 2 = 0 + 0,005 948 638 459 328;
  • 8) 0,005 948 638 459 328 × 2 = 0 + 0,011 897 276 918 656;
  • 9) 0,011 897 276 918 656 × 2 = 0 + 0,023 794 553 837 312;
  • 10) 0,023 794 553 837 312 × 2 = 0 + 0,047 589 107 674 624;
  • 11) 0,047 589 107 674 624 × 2 = 0 + 0,095 178 215 349 248;
  • 12) 0,095 178 215 349 248 × 2 = 0 + 0,190 356 430 698 496;
  • 13) 0,190 356 430 698 496 × 2 = 0 + 0,380 712 861 396 992;
  • 14) 0,380 712 861 396 992 × 2 = 0 + 0,761 425 722 793 984;
  • 15) 0,761 425 722 793 984 × 2 = 1 + 0,522 851 445 587 968;
  • 16) 0,522 851 445 587 968 × 2 = 1 + 0,045 702 891 175 936;
  • 17) 0,045 702 891 175 936 × 2 = 0 + 0,091 405 782 351 872;
  • 18) 0,091 405 782 351 872 × 2 = 0 + 0,182 811 564 703 744;
  • 19) 0,182 811 564 703 744 × 2 = 0 + 0,365 623 129 407 488;
  • 20) 0,365 623 129 407 488 × 2 = 0 + 0,731 246 258 814 976;
  • 21) 0,731 246 258 814 976 × 2 = 1 + 0,462 492 517 629 952;
  • 22) 0,462 492 517 629 952 × 2 = 0 + 0,924 985 035 259 904;
  • 23) 0,924 985 035 259 904 × 2 = 1 + 0,849 970 070 519 808;
  • 24) 0,849 970 070 519 808 × 2 = 1 + 0,699 940 141 039 616;
  • 25) 0,699 940 141 039 616 × 2 = 1 + 0,399 880 282 079 232;
  • 26) 0,399 880 282 079 232 × 2 = 0 + 0,799 760 564 158 464;
  • 27) 0,799 760 564 158 464 × 2 = 1 + 0,599 521 128 316 928;
  • 28) 0,599 521 128 316 928 × 2 = 1 + 0,199 042 256 633 856;
  • 29) 0,199 042 256 633 856 × 2 = 0 + 0,398 084 513 267 712;
  • 30) 0,398 084 513 267 712 × 2 = 0 + 0,796 169 026 535 424;
  • 31) 0,796 169 026 535 424 × 2 = 1 + 0,592 338 053 070 848;
  • 32) 0,592 338 053 070 848 × 2 = 1 + 0,184 676 106 141 696;
  • 33) 0,184 676 106 141 696 × 2 = 0 + 0,369 352 212 283 392;
  • 34) 0,369 352 212 283 392 × 2 = 0 + 0,738 704 424 566 784;
  • 35) 0,738 704 424 566 784 × 2 = 1 + 0,477 408 849 133 568;
  • 36) 0,477 408 849 133 568 × 2 = 0 + 0,954 817 698 267 136;
  • 37) 0,954 817 698 267 136 × 2 = 1 + 0,909 635 396 534 272;
  • 38) 0,909 635 396 534 272 × 2 = 1 + 0,819 270 793 068 544;
  • 39) 0,819 270 793 068 544 × 2 = 1 + 0,638 541 586 137 088;
  • 40) 0,638 541 586 137 088 × 2 = 1 + 0,277 083 172 274 176;
  • 41) 0,277 083 172 274 176 × 2 = 0 + 0,554 166 344 548 352;
  • 42) 0,554 166 344 548 352 × 2 = 1 + 0,108 332 689 096 704;
  • 43) 0,108 332 689 096 704 × 2 = 0 + 0,216 665 378 193 408;
  • 44) 0,216 665 378 193 408 × 2 = 0 + 0,433 330 756 386 816;
  • 45) 0,433 330 756 386 816 × 2 = 0 + 0,866 661 512 773 632;
  • 46) 0,866 661 512 773 632 × 2 = 1 + 0,733 323 025 547 264;
  • 47) 0,733 323 025 547 264 × 2 = 1 + 0,466 646 051 094 528;
  • 48) 0,466 646 051 094 528 × 2 = 0 + 0,933 292 102 189 056;
  • 49) 0,933 292 102 189 056 × 2 = 1 + 0,866 584 204 378 112;
  • 50) 0,866 584 204 378 112 × 2 = 1 + 0,733 168 408 756 224;
  • 51) 0,733 168 408 756 224 × 2 = 1 + 0,466 336 817 512 448;
  • 52) 0,466 336 817 512 448 × 2 = 0 + 0,932 673 635 024 896;
  • 53) 0,932 673 635 024 896 × 2 = 1 + 0,865 347 270 049 792;
  • 54) 0,865 347 270 049 792 × 2 = 1 + 0,730 694 540 099 584;
  • 55) 0,730 694 540 099 584 × 2 = 1 + 0,461 389 080 199 168;
  • 56) 0,461 389 080 199 168 × 2 = 0 + 0,922 778 160 398 336;
  • 57) 0,922 778 160 398 336 × 2 = 1 + 0,845 556 320 796 672;
  • 58) 0,845 556 320 796 672 × 2 = 1 + 0,691 112 641 593 344;
  • 59) 0,691 112 641 593 344 × 2 = 1 + 0,382 225 283 186 688;
  • 60) 0,382 225 283 186 688 × 2 = 0 + 0,764 450 566 373 376;
  • 61) 0,764 450 566 373 376 × 2 = 1 + 0,528 901 132 746 752;
  • 62) 0,528 901 132 746 752 × 2 = 1 + 0,057 802 265 493 504;
  • 63) 0,057 802 265 493 504 × 2 = 0 + 0,115 604 530 987 008;
  • 64) 0,115 604 530 987 008 × 2 = 0 + 0,231 209 061 974 016;
  • 65) 0,231 209 061 974 016 × 2 = 0 + 0,462 418 123 948 032;
  • 66) 0,462 418 123 948 032 × 2 = 0 + 0,924 836 247 896 064;
  • 67) 0,924 836 247 896 064 × 2 = 1 + 0,849 672 495 792 128;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 963 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 1110 1110 1110 1100 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 963 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 1110 1110 1110 1100 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 963 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 1110 1110 1110 1100 001(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0110 1110 1110 1110 1100 001(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0111 0111 0111 0110 0001(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0111 0111 0111 0110 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0111 0111 0111 0110 0001 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0111 0111 0111 0110 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0111 0111 0111 0110 0001


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 963 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 0111 0111 0111 0110 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 737 964 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100