0,000 053 164 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 164 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 164 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 164 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 164 6 × 2 = 0 + 0,000 106 329 2;
  • 2) 0,000 106 329 2 × 2 = 0 + 0,000 212 658 4;
  • 3) 0,000 212 658 4 × 2 = 0 + 0,000 425 316 8;
  • 4) 0,000 425 316 8 × 2 = 0 + 0,000 850 633 6;
  • 5) 0,000 850 633 6 × 2 = 0 + 0,001 701 267 2;
  • 6) 0,001 701 267 2 × 2 = 0 + 0,003 402 534 4;
  • 7) 0,003 402 534 4 × 2 = 0 + 0,006 805 068 8;
  • 8) 0,006 805 068 8 × 2 = 0 + 0,013 610 137 6;
  • 9) 0,013 610 137 6 × 2 = 0 + 0,027 220 275 2;
  • 10) 0,027 220 275 2 × 2 = 0 + 0,054 440 550 4;
  • 11) 0,054 440 550 4 × 2 = 0 + 0,108 881 100 8;
  • 12) 0,108 881 100 8 × 2 = 0 + 0,217 762 201 6;
  • 13) 0,217 762 201 6 × 2 = 0 + 0,435 524 403 2;
  • 14) 0,435 524 403 2 × 2 = 0 + 0,871 048 806 4;
  • 15) 0,871 048 806 4 × 2 = 1 + 0,742 097 612 8;
  • 16) 0,742 097 612 8 × 2 = 1 + 0,484 195 225 6;
  • 17) 0,484 195 225 6 × 2 = 0 + 0,968 390 451 2;
  • 18) 0,968 390 451 2 × 2 = 1 + 0,936 780 902 4;
  • 19) 0,936 780 902 4 × 2 = 1 + 0,873 561 804 8;
  • 20) 0,873 561 804 8 × 2 = 1 + 0,747 123 609 6;
  • 21) 0,747 123 609 6 × 2 = 1 + 0,494 247 219 2;
  • 22) 0,494 247 219 2 × 2 = 0 + 0,988 494 438 4;
  • 23) 0,988 494 438 4 × 2 = 1 + 0,976 988 876 8;
  • 24) 0,976 988 876 8 × 2 = 1 + 0,953 977 753 6;
  • 25) 0,953 977 753 6 × 2 = 1 + 0,907 955 507 2;
  • 26) 0,907 955 507 2 × 2 = 1 + 0,815 911 014 4;
  • 27) 0,815 911 014 4 × 2 = 1 + 0,631 822 028 8;
  • 28) 0,631 822 028 8 × 2 = 1 + 0,263 644 057 6;
  • 29) 0,263 644 057 6 × 2 = 0 + 0,527 288 115 2;
  • 30) 0,527 288 115 2 × 2 = 1 + 0,054 576 230 4;
  • 31) 0,054 576 230 4 × 2 = 0 + 0,109 152 460 8;
  • 32) 0,109 152 460 8 × 2 = 0 + 0,218 304 921 6;
  • 33) 0,218 304 921 6 × 2 = 0 + 0,436 609 843 2;
  • 34) 0,436 609 843 2 × 2 = 0 + 0,873 219 686 4;
  • 35) 0,873 219 686 4 × 2 = 1 + 0,746 439 372 8;
  • 36) 0,746 439 372 8 × 2 = 1 + 0,492 878 745 6;
  • 37) 0,492 878 745 6 × 2 = 0 + 0,985 757 491 2;
  • 38) 0,985 757 491 2 × 2 = 1 + 0,971 514 982 4;
  • 39) 0,971 514 982 4 × 2 = 1 + 0,943 029 964 8;
  • 40) 0,943 029 964 8 × 2 = 1 + 0,886 059 929 6;
  • 41) 0,886 059 929 6 × 2 = 1 + 0,772 119 859 2;
  • 42) 0,772 119 859 2 × 2 = 1 + 0,544 239 718 4;
  • 43) 0,544 239 718 4 × 2 = 1 + 0,088 479 436 8;
  • 44) 0,088 479 436 8 × 2 = 0 + 0,176 958 873 6;
  • 45) 0,176 958 873 6 × 2 = 0 + 0,353 917 747 2;
  • 46) 0,353 917 747 2 × 2 = 0 + 0,707 835 494 4;
  • 47) 0,707 835 494 4 × 2 = 1 + 0,415 670 988 8;
  • 48) 0,415 670 988 8 × 2 = 0 + 0,831 341 977 6;
  • 49) 0,831 341 977 6 × 2 = 1 + 0,662 683 955 2;
  • 50) 0,662 683 955 2 × 2 = 1 + 0,325 367 910 4;
  • 51) 0,325 367 910 4 × 2 = 0 + 0,650 735 820 8;
  • 52) 0,650 735 820 8 × 2 = 1 + 0,301 471 641 6;
  • 53) 0,301 471 641 6 × 2 = 0 + 0,602 943 283 2;
  • 54) 0,602 943 283 2 × 2 = 1 + 0,205 886 566 4;
  • 55) 0,205 886 566 4 × 2 = 0 + 0,411 773 132 8;
  • 56) 0,411 773 132 8 × 2 = 0 + 0,823 546 265 6;
  • 57) 0,823 546 265 6 × 2 = 1 + 0,647 092 531 2;
  • 58) 0,647 092 531 2 × 2 = 1 + 0,294 185 062 4;
  • 59) 0,294 185 062 4 × 2 = 0 + 0,588 370 124 8;
  • 60) 0,588 370 124 8 × 2 = 1 + 0,176 740 249 6;
  • 61) 0,176 740 249 6 × 2 = 0 + 0,353 480 499 2;
  • 62) 0,353 480 499 2 × 2 = 0 + 0,706 960 998 4;
  • 63) 0,706 960 998 4 × 2 = 1 + 0,413 921 996 8;
  • 64) 0,413 921 996 8 × 2 = 0 + 0,827 843 993 6;
  • 65) 0,827 843 993 6 × 2 = 1 + 0,655 687 987 2;
  • 66) 0,655 687 987 2 × 2 = 1 + 0,311 375 974 4;
  • 67) 0,311 375 974 4 × 2 = 0 + 0,622 751 948 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 164 6(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 0100 0011 0111 1110 0010 1101 0100 1101 0010 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 164 6(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 0100 0011 0111 1110 0010 1101 0100 1101 0010 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 164 6(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 0100 0011 0111 1110 0010 1101 0100 1101 0010 110(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 0100 0011 0111 1110 0010 1101 0100 1101 0010 110(2) × 20 =

1,1011 1101 1111 1010 0001 1011 1111 0001 0110 1010 0110 1001 0110(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1101 1111 1010 0001 1011 1111 0001 0110 1010 0110 1001 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1101 1111 1010 0001 1011 1111 0001 0110 1010 0110 1001 0110 =

1011 1101 1111 1010 0001 1011 1111 0001 0110 1010 0110 1001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1101 1111 1010 0001 1011 1111 0001 0110 1010 0110 1001 0110


Numărul zecimal 0,000 053 164 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1101 1111 1010 0001 1011 1111 0001 0110 1010 0110 1001 0110

» Scriere 0,000 053 155 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100