0,000 053 167 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 167 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 167 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 167 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 167 3 × 2 = 0 + 0,000 106 334 6;
  • 2) 0,000 106 334 6 × 2 = 0 + 0,000 212 669 2;
  • 3) 0,000 212 669 2 × 2 = 0 + 0,000 425 338 4;
  • 4) 0,000 425 338 4 × 2 = 0 + 0,000 850 676 8;
  • 5) 0,000 850 676 8 × 2 = 0 + 0,001 701 353 6;
  • 6) 0,001 701 353 6 × 2 = 0 + 0,003 402 707 2;
  • 7) 0,003 402 707 2 × 2 = 0 + 0,006 805 414 4;
  • 8) 0,006 805 414 4 × 2 = 0 + 0,013 610 828 8;
  • 9) 0,013 610 828 8 × 2 = 0 + 0,027 221 657 6;
  • 10) 0,027 221 657 6 × 2 = 0 + 0,054 443 315 2;
  • 11) 0,054 443 315 2 × 2 = 0 + 0,108 886 630 4;
  • 12) 0,108 886 630 4 × 2 = 0 + 0,217 773 260 8;
  • 13) 0,217 773 260 8 × 2 = 0 + 0,435 546 521 6;
  • 14) 0,435 546 521 6 × 2 = 0 + 0,871 093 043 2;
  • 15) 0,871 093 043 2 × 2 = 1 + 0,742 186 086 4;
  • 16) 0,742 186 086 4 × 2 = 1 + 0,484 372 172 8;
  • 17) 0,484 372 172 8 × 2 = 0 + 0,968 744 345 6;
  • 18) 0,968 744 345 6 × 2 = 1 + 0,937 488 691 2;
  • 19) 0,937 488 691 2 × 2 = 1 + 0,874 977 382 4;
  • 20) 0,874 977 382 4 × 2 = 1 + 0,749 954 764 8;
  • 21) 0,749 954 764 8 × 2 = 1 + 0,499 909 529 6;
  • 22) 0,499 909 529 6 × 2 = 0 + 0,999 819 059 2;
  • 23) 0,999 819 059 2 × 2 = 1 + 0,999 638 118 4;
  • 24) 0,999 638 118 4 × 2 = 1 + 0,999 276 236 8;
  • 25) 0,999 276 236 8 × 2 = 1 + 0,998 552 473 6;
  • 26) 0,998 552 473 6 × 2 = 1 + 0,997 104 947 2;
  • 27) 0,997 104 947 2 × 2 = 1 + 0,994 209 894 4;
  • 28) 0,994 209 894 4 × 2 = 1 + 0,988 419 788 8;
  • 29) 0,988 419 788 8 × 2 = 1 + 0,976 839 577 6;
  • 30) 0,976 839 577 6 × 2 = 1 + 0,953 679 155 2;
  • 31) 0,953 679 155 2 × 2 = 1 + 0,907 358 310 4;
  • 32) 0,907 358 310 4 × 2 = 1 + 0,814 716 620 8;
  • 33) 0,814 716 620 8 × 2 = 1 + 0,629 433 241 6;
  • 34) 0,629 433 241 6 × 2 = 1 + 0,258 866 483 2;
  • 35) 0,258 866 483 2 × 2 = 0 + 0,517 732 966 4;
  • 36) 0,517 732 966 4 × 2 = 1 + 0,035 465 932 8;
  • 37) 0,035 465 932 8 × 2 = 0 + 0,070 931 865 6;
  • 38) 0,070 931 865 6 × 2 = 0 + 0,141 863 731 2;
  • 39) 0,141 863 731 2 × 2 = 0 + 0,283 727 462 4;
  • 40) 0,283 727 462 4 × 2 = 0 + 0,567 454 924 8;
  • 41) 0,567 454 924 8 × 2 = 1 + 0,134 909 849 6;
  • 42) 0,134 909 849 6 × 2 = 0 + 0,269 819 699 2;
  • 43) 0,269 819 699 2 × 2 = 0 + 0,539 639 398 4;
  • 44) 0,539 639 398 4 × 2 = 1 + 0,079 278 796 8;
  • 45) 0,079 278 796 8 × 2 = 0 + 0,158 557 593 6;
  • 46) 0,158 557 593 6 × 2 = 0 + 0,317 115 187 2;
  • 47) 0,317 115 187 2 × 2 = 0 + 0,634 230 374 4;
  • 48) 0,634 230 374 4 × 2 = 1 + 0,268 460 748 8;
  • 49) 0,268 460 748 8 × 2 = 0 + 0,536 921 497 6;
  • 50) 0,536 921 497 6 × 2 = 1 + 0,073 842 995 2;
  • 51) 0,073 842 995 2 × 2 = 0 + 0,147 685 990 4;
  • 52) 0,147 685 990 4 × 2 = 0 + 0,295 371 980 8;
  • 53) 0,295 371 980 8 × 2 = 0 + 0,590 743 961 6;
  • 54) 0,590 743 961 6 × 2 = 1 + 0,181 487 923 2;
  • 55) 0,181 487 923 2 × 2 = 0 + 0,362 975 846 4;
  • 56) 0,362 975 846 4 × 2 = 0 + 0,725 951 692 8;
  • 57) 0,725 951 692 8 × 2 = 1 + 0,451 903 385 6;
  • 58) 0,451 903 385 6 × 2 = 0 + 0,903 806 771 2;
  • 59) 0,903 806 771 2 × 2 = 1 + 0,807 613 542 4;
  • 60) 0,807 613 542 4 × 2 = 1 + 0,615 227 084 8;
  • 61) 0,615 227 084 8 × 2 = 1 + 0,230 454 169 6;
  • 62) 0,230 454 169 6 × 2 = 0 + 0,460 908 339 2;
  • 63) 0,460 908 339 2 × 2 = 0 + 0,921 816 678 4;
  • 64) 0,921 816 678 4 × 2 = 1 + 0,843 633 356 8;
  • 65) 0,843 633 356 8 × 2 = 1 + 0,687 266 713 6;
  • 66) 0,687 266 713 6 × 2 = 1 + 0,374 533 427 2;
  • 67) 0,374 533 427 2 × 2 = 0 + 0,749 066 854 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 167 3(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 1111 1101 0000 1001 0001 0100 0100 1011 1001 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 167 3(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 1111 1101 0000 1001 0001 0100 0100 1011 1001 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 167 3(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 1111 1101 0000 1001 0001 0100 0100 1011 1001 110(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1111 1111 1101 0000 1001 0001 0100 0100 1011 1001 110(2) × 20 =

1,1011 1101 1111 1111 1110 1000 0100 1000 1010 0010 0101 1100 1110(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1101 1111 1111 1110 1000 0100 1000 1010 0010 0101 1100 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1101 1111 1111 1110 1000 0100 1000 1010 0010 0101 1100 1110 =

1011 1101 1111 1111 1110 1000 0100 1000 1010 0010 0101 1100 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1101 1111 1111 1110 1000 0100 1000 1010 0010 0101 1100 1110


Numărul zecimal 0,000 053 167 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1101 1111 1111 1110 1000 0100 1000 1010 0010 0101 1100 1110

» Scriere 0,000 053 157 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100