0,000 053 174 916 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 174 916 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 174 916 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 174 916 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 174 916 7 × 2 = 0 + 0,000 106 349 833 4;
  • 2) 0,000 106 349 833 4 × 2 = 0 + 0,000 212 699 666 8;
  • 3) 0,000 212 699 666 8 × 2 = 0 + 0,000 425 399 333 6;
  • 4) 0,000 425 399 333 6 × 2 = 0 + 0,000 850 798 667 2;
  • 5) 0,000 850 798 667 2 × 2 = 0 + 0,001 701 597 334 4;
  • 6) 0,001 701 597 334 4 × 2 = 0 + 0,003 403 194 668 8;
  • 7) 0,003 403 194 668 8 × 2 = 0 + 0,006 806 389 337 6;
  • 8) 0,006 806 389 337 6 × 2 = 0 + 0,013 612 778 675 2;
  • 9) 0,013 612 778 675 2 × 2 = 0 + 0,027 225 557 350 4;
  • 10) 0,027 225 557 350 4 × 2 = 0 + 0,054 451 114 700 8;
  • 11) 0,054 451 114 700 8 × 2 = 0 + 0,108 902 229 401 6;
  • 12) 0,108 902 229 401 6 × 2 = 0 + 0,217 804 458 803 2;
  • 13) 0,217 804 458 803 2 × 2 = 0 + 0,435 608 917 606 4;
  • 14) 0,435 608 917 606 4 × 2 = 0 + 0,871 217 835 212 8;
  • 15) 0,871 217 835 212 8 × 2 = 1 + 0,742 435 670 425 6;
  • 16) 0,742 435 670 425 6 × 2 = 1 + 0,484 871 340 851 2;
  • 17) 0,484 871 340 851 2 × 2 = 0 + 0,969 742 681 702 4;
  • 18) 0,969 742 681 702 4 × 2 = 1 + 0,939 485 363 404 8;
  • 19) 0,939 485 363 404 8 × 2 = 1 + 0,878 970 726 809 6;
  • 20) 0,878 970 726 809 6 × 2 = 1 + 0,757 941 453 619 2;
  • 21) 0,757 941 453 619 2 × 2 = 1 + 0,515 882 907 238 4;
  • 22) 0,515 882 907 238 4 × 2 = 1 + 0,031 765 814 476 8;
  • 23) 0,031 765 814 476 8 × 2 = 0 + 0,063 531 628 953 6;
  • 24) 0,063 531 628 953 6 × 2 = 0 + 0,127 063 257 907 2;
  • 25) 0,127 063 257 907 2 × 2 = 0 + 0,254 126 515 814 4;
  • 26) 0,254 126 515 814 4 × 2 = 0 + 0,508 253 031 628 8;
  • 27) 0,508 253 031 628 8 × 2 = 1 + 0,016 506 063 257 6;
  • 28) 0,016 506 063 257 6 × 2 = 0 + 0,033 012 126 515 2;
  • 29) 0,033 012 126 515 2 × 2 = 0 + 0,066 024 253 030 4;
  • 30) 0,066 024 253 030 4 × 2 = 0 + 0,132 048 506 060 8;
  • 31) 0,132 048 506 060 8 × 2 = 0 + 0,264 097 012 121 6;
  • 32) 0,264 097 012 121 6 × 2 = 0 + 0,528 194 024 243 2;
  • 33) 0,528 194 024 243 2 × 2 = 1 + 0,056 388 048 486 4;
  • 34) 0,056 388 048 486 4 × 2 = 0 + 0,112 776 096 972 8;
  • 35) 0,112 776 096 972 8 × 2 = 0 + 0,225 552 193 945 6;
  • 36) 0,225 552 193 945 6 × 2 = 0 + 0,451 104 387 891 2;
  • 37) 0,451 104 387 891 2 × 2 = 0 + 0,902 208 775 782 4;
  • 38) 0,902 208 775 782 4 × 2 = 1 + 0,804 417 551 564 8;
  • 39) 0,804 417 551 564 8 × 2 = 1 + 0,608 835 103 129 6;
  • 40) 0,608 835 103 129 6 × 2 = 1 + 0,217 670 206 259 2;
  • 41) 0,217 670 206 259 2 × 2 = 0 + 0,435 340 412 518 4;
  • 42) 0,435 340 412 518 4 × 2 = 0 + 0,870 680 825 036 8;
  • 43) 0,870 680 825 036 8 × 2 = 1 + 0,741 361 650 073 6;
  • 44) 0,741 361 650 073 6 × 2 = 1 + 0,482 723 300 147 2;
  • 45) 0,482 723 300 147 2 × 2 = 0 + 0,965 446 600 294 4;
  • 46) 0,965 446 600 294 4 × 2 = 1 + 0,930 893 200 588 8;
  • 47) 0,930 893 200 588 8 × 2 = 1 + 0,861 786 401 177 6;
  • 48) 0,861 786 401 177 6 × 2 = 1 + 0,723 572 802 355 2;
  • 49) 0,723 572 802 355 2 × 2 = 1 + 0,447 145 604 710 4;
  • 50) 0,447 145 604 710 4 × 2 = 0 + 0,894 291 209 420 8;
  • 51) 0,894 291 209 420 8 × 2 = 1 + 0,788 582 418 841 6;
  • 52) 0,788 582 418 841 6 × 2 = 1 + 0,577 164 837 683 2;
  • 53) 0,577 164 837 683 2 × 2 = 1 + 0,154 329 675 366 4;
  • 54) 0,154 329 675 366 4 × 2 = 0 + 0,308 659 350 732 8;
  • 55) 0,308 659 350 732 8 × 2 = 0 + 0,617 318 701 465 6;
  • 56) 0,617 318 701 465 6 × 2 = 1 + 0,234 637 402 931 2;
  • 57) 0,234 637 402 931 2 × 2 = 0 + 0,469 274 805 862 4;
  • 58) 0,469 274 805 862 4 × 2 = 0 + 0,938 549 611 724 8;
  • 59) 0,938 549 611 724 8 × 2 = 1 + 0,877 099 223 449 6;
  • 60) 0,877 099 223 449 6 × 2 = 1 + 0,754 198 446 899 2;
  • 61) 0,754 198 446 899 2 × 2 = 1 + 0,508 396 893 798 4;
  • 62) 0,508 396 893 798 4 × 2 = 1 + 0,016 793 787 596 8;
  • 63) 0,016 793 787 596 8 × 2 = 0 + 0,033 587 575 193 6;
  • 64) 0,033 587 575 193 6 × 2 = 0 + 0,067 175 150 387 2;
  • 65) 0,067 175 150 387 2 × 2 = 0 + 0,134 350 300 774 4;
  • 66) 0,134 350 300 774 4 × 2 = 0 + 0,268 700 601 548 8;
  • 67) 0,268 700 601 548 8 × 2 = 0 + 0,537 401 203 097 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 174 916 7(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0111 0011 0111 1011 1001 0011 1100 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 174 916 7(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0111 0011 0111 1011 1001 0011 1100 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 174 916 7(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0111 0011 0111 1011 1001 0011 1100 000(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0111 0011 0111 1011 1001 0011 1100 000(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0000 0100 0011 1001 1011 1101 1100 1001 1110 0000(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0000 0100 0011 1001 1011 1101 1100 1001 1110 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0000 0100 0011 1001 1011 1101 1100 1001 1110 0000 =

1011 1110 0001 0000 0100 0011 1001 1011 1101 1100 1001 1110 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0000 0100 0011 1001 1011 1101 1100 1001 1110 0000


Numărul zecimal 0,000 053 174 916 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0000 0100 0011 1001 1011 1101 1100 1001 1110 0000

» Scriere 0,000 053 174 919 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100