0,000 053 176 08 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 176 08(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 176 08(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 176 08.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 176 08 × 2 = 0 + 0,000 106 352 16;
  • 2) 0,000 106 352 16 × 2 = 0 + 0,000 212 704 32;
  • 3) 0,000 212 704 32 × 2 = 0 + 0,000 425 408 64;
  • 4) 0,000 425 408 64 × 2 = 0 + 0,000 850 817 28;
  • 5) 0,000 850 817 28 × 2 = 0 + 0,001 701 634 56;
  • 6) 0,001 701 634 56 × 2 = 0 + 0,003 403 269 12;
  • 7) 0,003 403 269 12 × 2 = 0 + 0,006 806 538 24;
  • 8) 0,006 806 538 24 × 2 = 0 + 0,013 613 076 48;
  • 9) 0,013 613 076 48 × 2 = 0 + 0,027 226 152 96;
  • 10) 0,027 226 152 96 × 2 = 0 + 0,054 452 305 92;
  • 11) 0,054 452 305 92 × 2 = 0 + 0,108 904 611 84;
  • 12) 0,108 904 611 84 × 2 = 0 + 0,217 809 223 68;
  • 13) 0,217 809 223 68 × 2 = 0 + 0,435 618 447 36;
  • 14) 0,435 618 447 36 × 2 = 0 + 0,871 236 894 72;
  • 15) 0,871 236 894 72 × 2 = 1 + 0,742 473 789 44;
  • 16) 0,742 473 789 44 × 2 = 1 + 0,484 947 578 88;
  • 17) 0,484 947 578 88 × 2 = 0 + 0,969 895 157 76;
  • 18) 0,969 895 157 76 × 2 = 1 + 0,939 790 315 52;
  • 19) 0,939 790 315 52 × 2 = 1 + 0,879 580 631 04;
  • 20) 0,879 580 631 04 × 2 = 1 + 0,759 161 262 08;
  • 21) 0,759 161 262 08 × 2 = 1 + 0,518 322 524 16;
  • 22) 0,518 322 524 16 × 2 = 1 + 0,036 645 048 32;
  • 23) 0,036 645 048 32 × 2 = 0 + 0,073 290 096 64;
  • 24) 0,073 290 096 64 × 2 = 0 + 0,146 580 193 28;
  • 25) 0,146 580 193 28 × 2 = 0 + 0,293 160 386 56;
  • 26) 0,293 160 386 56 × 2 = 0 + 0,586 320 773 12;
  • 27) 0,586 320 773 12 × 2 = 1 + 0,172 641 546 24;
  • 28) 0,172 641 546 24 × 2 = 0 + 0,345 283 092 48;
  • 29) 0,345 283 092 48 × 2 = 0 + 0,690 566 184 96;
  • 30) 0,690 566 184 96 × 2 = 1 + 0,381 132 369 92;
  • 31) 0,381 132 369 92 × 2 = 0 + 0,762 264 739 84;
  • 32) 0,762 264 739 84 × 2 = 1 + 0,524 529 479 68;
  • 33) 0,524 529 479 68 × 2 = 1 + 0,049 058 959 36;
  • 34) 0,049 058 959 36 × 2 = 0 + 0,098 117 918 72;
  • 35) 0,098 117 918 72 × 2 = 0 + 0,196 235 837 44;
  • 36) 0,196 235 837 44 × 2 = 0 + 0,392 471 674 88;
  • 37) 0,392 471 674 88 × 2 = 0 + 0,784 943 349 76;
  • 38) 0,784 943 349 76 × 2 = 1 + 0,569 886 699 52;
  • 39) 0,569 886 699 52 × 2 = 1 + 0,139 773 399 04;
  • 40) 0,139 773 399 04 × 2 = 0 + 0,279 546 798 08;
  • 41) 0,279 546 798 08 × 2 = 0 + 0,559 093 596 16;
  • 42) 0,559 093 596 16 × 2 = 1 + 0,118 187 192 32;
  • 43) 0,118 187 192 32 × 2 = 0 + 0,236 374 384 64;
  • 44) 0,236 374 384 64 × 2 = 0 + 0,472 748 769 28;
  • 45) 0,472 748 769 28 × 2 = 0 + 0,945 497 538 56;
  • 46) 0,945 497 538 56 × 2 = 1 + 0,890 995 077 12;
  • 47) 0,890 995 077 12 × 2 = 1 + 0,781 990 154 24;
  • 48) 0,781 990 154 24 × 2 = 1 + 0,563 980 308 48;
  • 49) 0,563 980 308 48 × 2 = 1 + 0,127 960 616 96;
  • 50) 0,127 960 616 96 × 2 = 0 + 0,255 921 233 92;
  • 51) 0,255 921 233 92 × 2 = 0 + 0,511 842 467 84;
  • 52) 0,511 842 467 84 × 2 = 1 + 0,023 684 935 68;
  • 53) 0,023 684 935 68 × 2 = 0 + 0,047 369 871 36;
  • 54) 0,047 369 871 36 × 2 = 0 + 0,094 739 742 72;
  • 55) 0,094 739 742 72 × 2 = 0 + 0,189 479 485 44;
  • 56) 0,189 479 485 44 × 2 = 0 + 0,378 958 970 88;
  • 57) 0,378 958 970 88 × 2 = 0 + 0,757 917 941 76;
  • 58) 0,757 917 941 76 × 2 = 1 + 0,515 835 883 52;
  • 59) 0,515 835 883 52 × 2 = 1 + 0,031 671 767 04;
  • 60) 0,031 671 767 04 × 2 = 0 + 0,063 343 534 08;
  • 61) 0,063 343 534 08 × 2 = 0 + 0,126 687 068 16;
  • 62) 0,126 687 068 16 × 2 = 0 + 0,253 374 136 32;
  • 63) 0,253 374 136 32 × 2 = 0 + 0,506 748 272 64;
  • 64) 0,506 748 272 64 × 2 = 1 + 0,013 496 545 28;
  • 65) 0,013 496 545 28 × 2 = 0 + 0,026 993 090 56;
  • 66) 0,026 993 090 56 × 2 = 0 + 0,053 986 181 12;
  • 67) 0,053 986 181 12 × 2 = 0 + 0,107 972 362 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 176 08(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 1000 0110 0100 0111 1001 0000 0110 0001 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 176 08(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 1000 0110 0100 0111 1001 0000 0110 0001 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 176 08(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 1000 0110 0100 0111 1001 0000 0110 0001 000(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 1000 0110 0100 0111 1001 0000 0110 0001 000(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0010 1100 0011 0010 0011 1100 1000 0011 0000 1000(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0010 1100 0011 0010 0011 1100 1000 0011 0000 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0010 1100 0011 0010 0011 1100 1000 0011 0000 1000 =

1011 1110 0001 0010 1100 0011 0010 0011 1100 1000 0011 0000 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0010 1100 0011 0010 0011 1100 1000 0011 0000 1000


Numărul zecimal 0,000 053 176 08 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0010 1100 0011 0010 0011 1100 1000 0011 0000 1000

» Scriere 0,000 053 176 98 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100