0,000 085 532 101 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 085 532 101 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 085 532 101 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 085 532 101 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 085 532 101 9 × 2 = 0 + 0,000 171 064 203 8;
  • 2) 0,000 171 064 203 8 × 2 = 0 + 0,000 342 128 407 6;
  • 3) 0,000 342 128 407 6 × 2 = 0 + 0,000 684 256 815 2;
  • 4) 0,000 684 256 815 2 × 2 = 0 + 0,001 368 513 630 4;
  • 5) 0,001 368 513 630 4 × 2 = 0 + 0,002 737 027 260 8;
  • 6) 0,002 737 027 260 8 × 2 = 0 + 0,005 474 054 521 6;
  • 7) 0,005 474 054 521 6 × 2 = 0 + 0,010 948 109 043 2;
  • 8) 0,010 948 109 043 2 × 2 = 0 + 0,021 896 218 086 4;
  • 9) 0,021 896 218 086 4 × 2 = 0 + 0,043 792 436 172 8;
  • 10) 0,043 792 436 172 8 × 2 = 0 + 0,087 584 872 345 6;
  • 11) 0,087 584 872 345 6 × 2 = 0 + 0,175 169 744 691 2;
  • 12) 0,175 169 744 691 2 × 2 = 0 + 0,350 339 489 382 4;
  • 13) 0,350 339 489 382 4 × 2 = 0 + 0,700 678 978 764 8;
  • 14) 0,700 678 978 764 8 × 2 = 1 + 0,401 357 957 529 6;
  • 15) 0,401 357 957 529 6 × 2 = 0 + 0,802 715 915 059 2;
  • 16) 0,802 715 915 059 2 × 2 = 1 + 0,605 431 830 118 4;
  • 17) 0,605 431 830 118 4 × 2 = 1 + 0,210 863 660 236 8;
  • 18) 0,210 863 660 236 8 × 2 = 0 + 0,421 727 320 473 6;
  • 19) 0,421 727 320 473 6 × 2 = 0 + 0,843 454 640 947 2;
  • 20) 0,843 454 640 947 2 × 2 = 1 + 0,686 909 281 894 4;
  • 21) 0,686 909 281 894 4 × 2 = 1 + 0,373 818 563 788 8;
  • 22) 0,373 818 563 788 8 × 2 = 0 + 0,747 637 127 577 6;
  • 23) 0,747 637 127 577 6 × 2 = 1 + 0,495 274 255 155 2;
  • 24) 0,495 274 255 155 2 × 2 = 0 + 0,990 548 510 310 4;
  • 25) 0,990 548 510 310 4 × 2 = 1 + 0,981 097 020 620 8;
  • 26) 0,981 097 020 620 8 × 2 = 1 + 0,962 194 041 241 6;
  • 27) 0,962 194 041 241 6 × 2 = 1 + 0,924 388 082 483 2;
  • 28) 0,924 388 082 483 2 × 2 = 1 + 0,848 776 164 966 4;
  • 29) 0,848 776 164 966 4 × 2 = 1 + 0,697 552 329 932 8;
  • 30) 0,697 552 329 932 8 × 2 = 1 + 0,395 104 659 865 6;
  • 31) 0,395 104 659 865 6 × 2 = 0 + 0,790 209 319 731 2;
  • 32) 0,790 209 319 731 2 × 2 = 1 + 0,580 418 639 462 4;
  • 33) 0,580 418 639 462 4 × 2 = 1 + 0,160 837 278 924 8;
  • 34) 0,160 837 278 924 8 × 2 = 0 + 0,321 674 557 849 6;
  • 35) 0,321 674 557 849 6 × 2 = 0 + 0,643 349 115 699 2;
  • 36) 0,643 349 115 699 2 × 2 = 1 + 0,286 698 231 398 4;
  • 37) 0,286 698 231 398 4 × 2 = 0 + 0,573 396 462 796 8;
  • 38) 0,573 396 462 796 8 × 2 = 1 + 0,146 792 925 593 6;
  • 39) 0,146 792 925 593 6 × 2 = 0 + 0,293 585 851 187 2;
  • 40) 0,293 585 851 187 2 × 2 = 0 + 0,587 171 702 374 4;
  • 41) 0,587 171 702 374 4 × 2 = 1 + 0,174 343 404 748 8;
  • 42) 0,174 343 404 748 8 × 2 = 0 + 0,348 686 809 497 6;
  • 43) 0,348 686 809 497 6 × 2 = 0 + 0,697 373 618 995 2;
  • 44) 0,697 373 618 995 2 × 2 = 1 + 0,394 747 237 990 4;
  • 45) 0,394 747 237 990 4 × 2 = 0 + 0,789 494 475 980 8;
  • 46) 0,789 494 475 980 8 × 2 = 1 + 0,578 988 951 961 6;
  • 47) 0,578 988 951 961 6 × 2 = 1 + 0,157 977 903 923 2;
  • 48) 0,157 977 903 923 2 × 2 = 0 + 0,315 955 807 846 4;
  • 49) 0,315 955 807 846 4 × 2 = 0 + 0,631 911 615 692 8;
  • 50) 0,631 911 615 692 8 × 2 = 1 + 0,263 823 231 385 6;
  • 51) 0,263 823 231 385 6 × 2 = 0 + 0,527 646 462 771 2;
  • 52) 0,527 646 462 771 2 × 2 = 1 + 0,055 292 925 542 4;
  • 53) 0,055 292 925 542 4 × 2 = 0 + 0,110 585 851 084 8;
  • 54) 0,110 585 851 084 8 × 2 = 0 + 0,221 171 702 169 6;
  • 55) 0,221 171 702 169 6 × 2 = 0 + 0,442 343 404 339 2;
  • 56) 0,442 343 404 339 2 × 2 = 0 + 0,884 686 808 678 4;
  • 57) 0,884 686 808 678 4 × 2 = 1 + 0,769 373 617 356 8;
  • 58) 0,769 373 617 356 8 × 2 = 1 + 0,538 747 234 713 6;
  • 59) 0,538 747 234 713 6 × 2 = 1 + 0,077 494 469 427 2;
  • 60) 0,077 494 469 427 2 × 2 = 0 + 0,154 988 938 854 4;
  • 61) 0,154 988 938 854 4 × 2 = 0 + 0,309 977 877 708 8;
  • 62) 0,309 977 877 708 8 × 2 = 0 + 0,619 955 755 417 6;
  • 63) 0,619 955 755 417 6 × 2 = 1 + 0,239 911 510 835 2;
  • 64) 0,239 911 510 835 2 × 2 = 0 + 0,479 823 021 670 4;
  • 65) 0,479 823 021 670 4 × 2 = 0 + 0,959 646 043 340 8;
  • 66) 0,959 646 043 340 8 × 2 = 1 + 0,919 292 086 681 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 085 532 101 9(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0100 1001 0110 0101 0000 1110 0010 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 085 532 101 9(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0100 1001 0110 0101 0000 1110 0010 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 085 532 101 9(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0100 1001 0110 0101 0000 1110 0010 01(2) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0100 1001 0110 0101 0000 1110 0010 01(2) × 20 =

1,0110 0110 1011 1111 0110 0101 0010 0101 1001 0100 0011 1000 1001(2) × 2-14


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0110 1011 1111 0110 0101 0010 0101 1001 0100 0011 1000 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0110 1011 1111 0110 0101 0010 0101 1001 0100 0011 1000 1001 =

0110 0110 1011 1111 0110 0101 0010 0101 1001 0100 0011 1000 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
0110 0110 1011 1111 0110 0101 0010 0101 1001 0100 0011 1000 1001


Numărul zecimal 0,000 085 532 101 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0001 - 0110 0110 1011 1111 0110 0101 0010 0101 1001 0100 0011 1000 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 085 532 100 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100