0,000 569 761 701 604 388 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 569 761 701 604 388(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 569 761 701 604 388(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 569 761 701 604 388.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 569 761 701 604 388 × 2 = 0 + 0,001 139 523 403 208 776;
  • 2) 0,001 139 523 403 208 776 × 2 = 0 + 0,002 279 046 806 417 552;
  • 3) 0,002 279 046 806 417 552 × 2 = 0 + 0,004 558 093 612 835 104;
  • 4) 0,004 558 093 612 835 104 × 2 = 0 + 0,009 116 187 225 670 208;
  • 5) 0,009 116 187 225 670 208 × 2 = 0 + 0,018 232 374 451 340 416;
  • 6) 0,018 232 374 451 340 416 × 2 = 0 + 0,036 464 748 902 680 832;
  • 7) 0,036 464 748 902 680 832 × 2 = 0 + 0,072 929 497 805 361 664;
  • 8) 0,072 929 497 805 361 664 × 2 = 0 + 0,145 858 995 610 723 328;
  • 9) 0,145 858 995 610 723 328 × 2 = 0 + 0,291 717 991 221 446 656;
  • 10) 0,291 717 991 221 446 656 × 2 = 0 + 0,583 435 982 442 893 312;
  • 11) 0,583 435 982 442 893 312 × 2 = 1 + 0,166 871 964 885 786 624;
  • 12) 0,166 871 964 885 786 624 × 2 = 0 + 0,333 743 929 771 573 248;
  • 13) 0,333 743 929 771 573 248 × 2 = 0 + 0,667 487 859 543 146 496;
  • 14) 0,667 487 859 543 146 496 × 2 = 1 + 0,334 975 719 086 292 992;
  • 15) 0,334 975 719 086 292 992 × 2 = 0 + 0,669 951 438 172 585 984;
  • 16) 0,669 951 438 172 585 984 × 2 = 1 + 0,339 902 876 345 171 968;
  • 17) 0,339 902 876 345 171 968 × 2 = 0 + 0,679 805 752 690 343 936;
  • 18) 0,679 805 752 690 343 936 × 2 = 1 + 0,359 611 505 380 687 872;
  • 19) 0,359 611 505 380 687 872 × 2 = 0 + 0,719 223 010 761 375 744;
  • 20) 0,719 223 010 761 375 744 × 2 = 1 + 0,438 446 021 522 751 488;
  • 21) 0,438 446 021 522 751 488 × 2 = 0 + 0,876 892 043 045 502 976;
  • 22) 0,876 892 043 045 502 976 × 2 = 1 + 0,753 784 086 091 005 952;
  • 23) 0,753 784 086 091 005 952 × 2 = 1 + 0,507 568 172 182 011 904;
  • 24) 0,507 568 172 182 011 904 × 2 = 1 + 0,015 136 344 364 023 808;
  • 25) 0,015 136 344 364 023 808 × 2 = 0 + 0,030 272 688 728 047 616;
  • 26) 0,030 272 688 728 047 616 × 2 = 0 + 0,060 545 377 456 095 232;
  • 27) 0,060 545 377 456 095 232 × 2 = 0 + 0,121 090 754 912 190 464;
  • 28) 0,121 090 754 912 190 464 × 2 = 0 + 0,242 181 509 824 380 928;
  • 29) 0,242 181 509 824 380 928 × 2 = 0 + 0,484 363 019 648 761 856;
  • 30) 0,484 363 019 648 761 856 × 2 = 0 + 0,968 726 039 297 523 712;
  • 31) 0,968 726 039 297 523 712 × 2 = 1 + 0,937 452 078 595 047 424;
  • 32) 0,937 452 078 595 047 424 × 2 = 1 + 0,874 904 157 190 094 848;
  • 33) 0,874 904 157 190 094 848 × 2 = 1 + 0,749 808 314 380 189 696;
  • 34) 0,749 808 314 380 189 696 × 2 = 1 + 0,499 616 628 760 379 392;
  • 35) 0,499 616 628 760 379 392 × 2 = 0 + 0,999 233 257 520 758 784;
  • 36) 0,999 233 257 520 758 784 × 2 = 1 + 0,998 466 515 041 517 568;
  • 37) 0,998 466 515 041 517 568 × 2 = 1 + 0,996 933 030 083 035 136;
  • 38) 0,996 933 030 083 035 136 × 2 = 1 + 0,993 866 060 166 070 272;
  • 39) 0,993 866 060 166 070 272 × 2 = 1 + 0,987 732 120 332 140 544;
  • 40) 0,987 732 120 332 140 544 × 2 = 1 + 0,975 464 240 664 281 088;
  • 41) 0,975 464 240 664 281 088 × 2 = 1 + 0,950 928 481 328 562 176;
  • 42) 0,950 928 481 328 562 176 × 2 = 1 + 0,901 856 962 657 124 352;
  • 43) 0,901 856 962 657 124 352 × 2 = 1 + 0,803 713 925 314 248 704;
  • 44) 0,803 713 925 314 248 704 × 2 = 1 + 0,607 427 850 628 497 408;
  • 45) 0,607 427 850 628 497 408 × 2 = 1 + 0,214 855 701 256 994 816;
  • 46) 0,214 855 701 256 994 816 × 2 = 0 + 0,429 711 402 513 989 632;
  • 47) 0,429 711 402 513 989 632 × 2 = 0 + 0,859 422 805 027 979 264;
  • 48) 0,859 422 805 027 979 264 × 2 = 1 + 0,718 845 610 055 958 528;
  • 49) 0,718 845 610 055 958 528 × 2 = 1 + 0,437 691 220 111 917 056;
  • 50) 0,437 691 220 111 917 056 × 2 = 0 + 0,875 382 440 223 834 112;
  • 51) 0,875 382 440 223 834 112 × 2 = 1 + 0,750 764 880 447 668 224;
  • 52) 0,750 764 880 447 668 224 × 2 = 1 + 0,501 529 760 895 336 448;
  • 53) 0,501 529 760 895 336 448 × 2 = 1 + 0,003 059 521 790 672 896;
  • 54) 0,003 059 521 790 672 896 × 2 = 0 + 0,006 119 043 581 345 792;
  • 55) 0,006 119 043 581 345 792 × 2 = 0 + 0,012 238 087 162 691 584;
  • 56) 0,012 238 087 162 691 584 × 2 = 0 + 0,024 476 174 325 383 168;
  • 57) 0,024 476 174 325 383 168 × 2 = 0 + 0,048 952 348 650 766 336;
  • 58) 0,048 952 348 650 766 336 × 2 = 0 + 0,097 904 697 301 532 672;
  • 59) 0,097 904 697 301 532 672 × 2 = 0 + 0,195 809 394 603 065 344;
  • 60) 0,195 809 394 603 065 344 × 2 = 0 + 0,391 618 789 206 130 688;
  • 61) 0,391 618 789 206 130 688 × 2 = 0 + 0,783 237 578 412 261 376;
  • 62) 0,783 237 578 412 261 376 × 2 = 1 + 0,566 475 156 824 522 752;
  • 63) 0,566 475 156 824 522 752 × 2 = 1 + 0,132 950 313 649 045 504;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 569 761 701 604 388(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1000 0000 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 569 761 701 604 388(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1000 0000 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 569 761 701 604 388(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1000 0000 011(2) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1000 0000 011(2) × 20 =

1,0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 0000 0011(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 0000 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 0000 0011 =

0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 0000 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 0000 0011


Numărul zecimal 0,000 569 761 701 604 388 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 0000 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 569 761 701 604 413 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100