0,000 569 761 701 604 447 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 569 761 701 604 447(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 569 761 701 604 447(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 569 761 701 604 447.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 569 761 701 604 447 × 2 = 0 + 0,001 139 523 403 208 894;
  • 2) 0,001 139 523 403 208 894 × 2 = 0 + 0,002 279 046 806 417 788;
  • 3) 0,002 279 046 806 417 788 × 2 = 0 + 0,004 558 093 612 835 576;
  • 4) 0,004 558 093 612 835 576 × 2 = 0 + 0,009 116 187 225 671 152;
  • 5) 0,009 116 187 225 671 152 × 2 = 0 + 0,018 232 374 451 342 304;
  • 6) 0,018 232 374 451 342 304 × 2 = 0 + 0,036 464 748 902 684 608;
  • 7) 0,036 464 748 902 684 608 × 2 = 0 + 0,072 929 497 805 369 216;
  • 8) 0,072 929 497 805 369 216 × 2 = 0 + 0,145 858 995 610 738 432;
  • 9) 0,145 858 995 610 738 432 × 2 = 0 + 0,291 717 991 221 476 864;
  • 10) 0,291 717 991 221 476 864 × 2 = 0 + 0,583 435 982 442 953 728;
  • 11) 0,583 435 982 442 953 728 × 2 = 1 + 0,166 871 964 885 907 456;
  • 12) 0,166 871 964 885 907 456 × 2 = 0 + 0,333 743 929 771 814 912;
  • 13) 0,333 743 929 771 814 912 × 2 = 0 + 0,667 487 859 543 629 824;
  • 14) 0,667 487 859 543 629 824 × 2 = 1 + 0,334 975 719 087 259 648;
  • 15) 0,334 975 719 087 259 648 × 2 = 0 + 0,669 951 438 174 519 296;
  • 16) 0,669 951 438 174 519 296 × 2 = 1 + 0,339 902 876 349 038 592;
  • 17) 0,339 902 876 349 038 592 × 2 = 0 + 0,679 805 752 698 077 184;
  • 18) 0,679 805 752 698 077 184 × 2 = 1 + 0,359 611 505 396 154 368;
  • 19) 0,359 611 505 396 154 368 × 2 = 0 + 0,719 223 010 792 308 736;
  • 20) 0,719 223 010 792 308 736 × 2 = 1 + 0,438 446 021 584 617 472;
  • 21) 0,438 446 021 584 617 472 × 2 = 0 + 0,876 892 043 169 234 944;
  • 22) 0,876 892 043 169 234 944 × 2 = 1 + 0,753 784 086 338 469 888;
  • 23) 0,753 784 086 338 469 888 × 2 = 1 + 0,507 568 172 676 939 776;
  • 24) 0,507 568 172 676 939 776 × 2 = 1 + 0,015 136 345 353 879 552;
  • 25) 0,015 136 345 353 879 552 × 2 = 0 + 0,030 272 690 707 759 104;
  • 26) 0,030 272 690 707 759 104 × 2 = 0 + 0,060 545 381 415 518 208;
  • 27) 0,060 545 381 415 518 208 × 2 = 0 + 0,121 090 762 831 036 416;
  • 28) 0,121 090 762 831 036 416 × 2 = 0 + 0,242 181 525 662 072 832;
  • 29) 0,242 181 525 662 072 832 × 2 = 0 + 0,484 363 051 324 145 664;
  • 30) 0,484 363 051 324 145 664 × 2 = 0 + 0,968 726 102 648 291 328;
  • 31) 0,968 726 102 648 291 328 × 2 = 1 + 0,937 452 205 296 582 656;
  • 32) 0,937 452 205 296 582 656 × 2 = 1 + 0,874 904 410 593 165 312;
  • 33) 0,874 904 410 593 165 312 × 2 = 1 + 0,749 808 821 186 330 624;
  • 34) 0,749 808 821 186 330 624 × 2 = 1 + 0,499 617 642 372 661 248;
  • 35) 0,499 617 642 372 661 248 × 2 = 0 + 0,999 235 284 745 322 496;
  • 36) 0,999 235 284 745 322 496 × 2 = 1 + 0,998 470 569 490 644 992;
  • 37) 0,998 470 569 490 644 992 × 2 = 1 + 0,996 941 138 981 289 984;
  • 38) 0,996 941 138 981 289 984 × 2 = 1 + 0,993 882 277 962 579 968;
  • 39) 0,993 882 277 962 579 968 × 2 = 1 + 0,987 764 555 925 159 936;
  • 40) 0,987 764 555 925 159 936 × 2 = 1 + 0,975 529 111 850 319 872;
  • 41) 0,975 529 111 850 319 872 × 2 = 1 + 0,951 058 223 700 639 744;
  • 42) 0,951 058 223 700 639 744 × 2 = 1 + 0,902 116 447 401 279 488;
  • 43) 0,902 116 447 401 279 488 × 2 = 1 + 0,804 232 894 802 558 976;
  • 44) 0,804 232 894 802 558 976 × 2 = 1 + 0,608 465 789 605 117 952;
  • 45) 0,608 465 789 605 117 952 × 2 = 1 + 0,216 931 579 210 235 904;
  • 46) 0,216 931 579 210 235 904 × 2 = 0 + 0,433 863 158 420 471 808;
  • 47) 0,433 863 158 420 471 808 × 2 = 0 + 0,867 726 316 840 943 616;
  • 48) 0,867 726 316 840 943 616 × 2 = 1 + 0,735 452 633 681 887 232;
  • 49) 0,735 452 633 681 887 232 × 2 = 1 + 0,470 905 267 363 774 464;
  • 50) 0,470 905 267 363 774 464 × 2 = 0 + 0,941 810 534 727 548 928;
  • 51) 0,941 810 534 727 548 928 × 2 = 1 + 0,883 621 069 455 097 856;
  • 52) 0,883 621 069 455 097 856 × 2 = 1 + 0,767 242 138 910 195 712;
  • 53) 0,767 242 138 910 195 712 × 2 = 1 + 0,534 484 277 820 391 424;
  • 54) 0,534 484 277 820 391 424 × 2 = 1 + 0,068 968 555 640 782 848;
  • 55) 0,068 968 555 640 782 848 × 2 = 0 + 0,137 937 111 281 565 696;
  • 56) 0,137 937 111 281 565 696 × 2 = 0 + 0,275 874 222 563 131 392;
  • 57) 0,275 874 222 563 131 392 × 2 = 0 + 0,551 748 445 126 262 784;
  • 58) 0,551 748 445 126 262 784 × 2 = 1 + 0,103 496 890 252 525 568;
  • 59) 0,103 496 890 252 525 568 × 2 = 0 + 0,206 993 780 505 051 136;
  • 60) 0,206 993 780 505 051 136 × 2 = 0 + 0,413 987 561 010 102 272;
  • 61) 0,413 987 561 010 102 272 × 2 = 0 + 0,827 975 122 020 204 544;
  • 62) 0,827 975 122 020 204 544 × 2 = 1 + 0,655 950 244 040 409 088;
  • 63) 0,655 950 244 040 409 088 × 2 = 1 + 0,311 900 488 080 818 176;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 569 761 701 604 447(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1100 0100 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 569 761 701 604 447(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1100 0100 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 569 761 701 604 447(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1100 0100 011(2) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1100 0100 011(2) × 20 =

1,0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1110 0010 0011(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1110 0010 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1110 0010 0011 =

0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1110 0010 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1110 0010 0011


Numărul zecimal 0,000 569 761 701 604 447 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1110 0010 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 569 761 701 604 388 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100