0,002 204 718 637 485 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,002 204 718 637 485(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,002 204 718 637 485(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,002 204 718 637 485.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,002 204 718 637 485 × 2 = 0 + 0,004 409 437 274 97;
  • 2) 0,004 409 437 274 97 × 2 = 0 + 0,008 818 874 549 94;
  • 3) 0,008 818 874 549 94 × 2 = 0 + 0,017 637 749 099 88;
  • 4) 0,017 637 749 099 88 × 2 = 0 + 0,035 275 498 199 76;
  • 5) 0,035 275 498 199 76 × 2 = 0 + 0,070 550 996 399 52;
  • 6) 0,070 550 996 399 52 × 2 = 0 + 0,141 101 992 799 04;
  • 7) 0,141 101 992 799 04 × 2 = 0 + 0,282 203 985 598 08;
  • 8) 0,282 203 985 598 08 × 2 = 0 + 0,564 407 971 196 16;
  • 9) 0,564 407 971 196 16 × 2 = 1 + 0,128 815 942 392 32;
  • 10) 0,128 815 942 392 32 × 2 = 0 + 0,257 631 884 784 64;
  • 11) 0,257 631 884 784 64 × 2 = 0 + 0,515 263 769 569 28;
  • 12) 0,515 263 769 569 28 × 2 = 1 + 0,030 527 539 138 56;
  • 13) 0,030 527 539 138 56 × 2 = 0 + 0,061 055 078 277 12;
  • 14) 0,061 055 078 277 12 × 2 = 0 + 0,122 110 156 554 24;
  • 15) 0,122 110 156 554 24 × 2 = 0 + 0,244 220 313 108 48;
  • 16) 0,244 220 313 108 48 × 2 = 0 + 0,488 440 626 216 96;
  • 17) 0,488 440 626 216 96 × 2 = 0 + 0,976 881 252 433 92;
  • 18) 0,976 881 252 433 92 × 2 = 1 + 0,953 762 504 867 84;
  • 19) 0,953 762 504 867 84 × 2 = 1 + 0,907 525 009 735 68;
  • 20) 0,907 525 009 735 68 × 2 = 1 + 0,815 050 019 471 36;
  • 21) 0,815 050 019 471 36 × 2 = 1 + 0,630 100 038 942 72;
  • 22) 0,630 100 038 942 72 × 2 = 1 + 0,260 200 077 885 44;
  • 23) 0,260 200 077 885 44 × 2 = 0 + 0,520 400 155 770 88;
  • 24) 0,520 400 155 770 88 × 2 = 1 + 0,040 800 311 541 76;
  • 25) 0,040 800 311 541 76 × 2 = 0 + 0,081 600 623 083 52;
  • 26) 0,081 600 623 083 52 × 2 = 0 + 0,163 201 246 167 04;
  • 27) 0,163 201 246 167 04 × 2 = 0 + 0,326 402 492 334 08;
  • 28) 0,326 402 492 334 08 × 2 = 0 + 0,652 804 984 668 16;
  • 29) 0,652 804 984 668 16 × 2 = 1 + 0,305 609 969 336 32;
  • 30) 0,305 609 969 336 32 × 2 = 0 + 0,611 219 938 672 64;
  • 31) 0,611 219 938 672 64 × 2 = 1 + 0,222 439 877 345 28;
  • 32) 0,222 439 877 345 28 × 2 = 0 + 0,444 879 754 690 56;
  • 33) 0,444 879 754 690 56 × 2 = 0 + 0,889 759 509 381 12;
  • 34) 0,889 759 509 381 12 × 2 = 1 + 0,779 519 018 762 24;
  • 35) 0,779 519 018 762 24 × 2 = 1 + 0,559 038 037 524 48;
  • 36) 0,559 038 037 524 48 × 2 = 1 + 0,118 076 075 048 96;
  • 37) 0,118 076 075 048 96 × 2 = 0 + 0,236 152 150 097 92;
  • 38) 0,236 152 150 097 92 × 2 = 0 + 0,472 304 300 195 84;
  • 39) 0,472 304 300 195 84 × 2 = 0 + 0,944 608 600 391 68;
  • 40) 0,944 608 600 391 68 × 2 = 1 + 0,889 217 200 783 36;
  • 41) 0,889 217 200 783 36 × 2 = 1 + 0,778 434 401 566 72;
  • 42) 0,778 434 401 566 72 × 2 = 1 + 0,556 868 803 133 44;
  • 43) 0,556 868 803 133 44 × 2 = 1 + 0,113 737 606 266 88;
  • 44) 0,113 737 606 266 88 × 2 = 0 + 0,227 475 212 533 76;
  • 45) 0,227 475 212 533 76 × 2 = 0 + 0,454 950 425 067 52;
  • 46) 0,454 950 425 067 52 × 2 = 0 + 0,909 900 850 135 04;
  • 47) 0,909 900 850 135 04 × 2 = 1 + 0,819 801 700 270 08;
  • 48) 0,819 801 700 270 08 × 2 = 1 + 0,639 603 400 540 16;
  • 49) 0,639 603 400 540 16 × 2 = 1 + 0,279 206 801 080 32;
  • 50) 0,279 206 801 080 32 × 2 = 0 + 0,558 413 602 160 64;
  • 51) 0,558 413 602 160 64 × 2 = 1 + 0,116 827 204 321 28;
  • 52) 0,116 827 204 321 28 × 2 = 0 + 0,233 654 408 642 56;
  • 53) 0,233 654 408 642 56 × 2 = 0 + 0,467 308 817 285 12;
  • 54) 0,467 308 817 285 12 × 2 = 0 + 0,934 617 634 570 24;
  • 55) 0,934 617 634 570 24 × 2 = 1 + 0,869 235 269 140 48;
  • 56) 0,869 235 269 140 48 × 2 = 1 + 0,738 470 538 280 96;
  • 57) 0,738 470 538 280 96 × 2 = 1 + 0,476 941 076 561 92;
  • 58) 0,476 941 076 561 92 × 2 = 0 + 0,953 882 153 123 84;
  • 59) 0,953 882 153 123 84 × 2 = 1 + 0,907 764 306 247 68;
  • 60) 0,907 764 306 247 68 × 2 = 1 + 0,815 528 612 495 36;
  • 61) 0,815 528 612 495 36 × 2 = 1 + 0,631 057 224 990 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,002 204 718 637 485(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1110 0011 1010 0011 1011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,002 204 718 637 485(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1110 0011 1010 0011 1011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,002 204 718 637 485(10) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1110 0011 1010 0011 1011 1(2) =

0,0000 0000 1001 0000 0111 1101 0000 1010 0111 0001 1110 0011 1010 0011 1011 1(2) × 20 =

1,0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1100 0111 0100 0111 0111(2) × 2-9


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -9

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1100 0111 0100 0111 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-9 + 2(11-1) - 1 =

(-9 + 1 023)(10) =

1 014(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 014 : 2 = 507 + 0;
  • 507 : 2 = 253 + 1;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1014(10) =

011 1111 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1100 0111 0100 0111 0111 =

0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1100 0111 0100 0111 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0110

Mantisă (52 biți) =
0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1100 0111 0100 0111 0111


Numărul zecimal 0,002 204 718 637 485 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0110 - 0010 0000 1111 1010 0001 0100 1110 0011 1100 0111 0100 0111 0111

Distribuie

» Scriere 0,002 204 718 637 583 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100