0,052 097 324 398 346 245 297 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,052 097 324 398 346 245 297 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,052 097 324 398 346 245 297 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,052 097 324 398 346 245 297 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,052 097 324 398 346 245 297 4 × 2 = 0 + 0,104 194 648 796 692 490 594 8;
  • 2) 0,104 194 648 796 692 490 594 8 × 2 = 0 + 0,208 389 297 593 384 981 189 6;
  • 3) 0,208 389 297 593 384 981 189 6 × 2 = 0 + 0,416 778 595 186 769 962 379 2;
  • 4) 0,416 778 595 186 769 962 379 2 × 2 = 0 + 0,833 557 190 373 539 924 758 4;
  • 5) 0,833 557 190 373 539 924 758 4 × 2 = 1 + 0,667 114 380 747 079 849 516 8;
  • 6) 0,667 114 380 747 079 849 516 8 × 2 = 1 + 0,334 228 761 494 159 699 033 6;
  • 7) 0,334 228 761 494 159 699 033 6 × 2 = 0 + 0,668 457 522 988 319 398 067 2;
  • 8) 0,668 457 522 988 319 398 067 2 × 2 = 1 + 0,336 915 045 976 638 796 134 4;
  • 9) 0,336 915 045 976 638 796 134 4 × 2 = 0 + 0,673 830 091 953 277 592 268 8;
  • 10) 0,673 830 091 953 277 592 268 8 × 2 = 1 + 0,347 660 183 906 555 184 537 6;
  • 11) 0,347 660 183 906 555 184 537 6 × 2 = 0 + 0,695 320 367 813 110 369 075 2;
  • 12) 0,695 320 367 813 110 369 075 2 × 2 = 1 + 0,390 640 735 626 220 738 150 4;
  • 13) 0,390 640 735 626 220 738 150 4 × 2 = 0 + 0,781 281 471 252 441 476 300 8;
  • 14) 0,781 281 471 252 441 476 300 8 × 2 = 1 + 0,562 562 942 504 882 952 601 6;
  • 15) 0,562 562 942 504 882 952 601 6 × 2 = 1 + 0,125 125 885 009 765 905 203 2;
  • 16) 0,125 125 885 009 765 905 203 2 × 2 = 0 + 0,250 251 770 019 531 810 406 4;
  • 17) 0,250 251 770 019 531 810 406 4 × 2 = 0 + 0,500 503 540 039 063 620 812 8;
  • 18) 0,500 503 540 039 063 620 812 8 × 2 = 1 + 0,001 007 080 078 127 241 625 6;
  • 19) 0,001 007 080 078 127 241 625 6 × 2 = 0 + 0,002 014 160 156 254 483 251 2;
  • 20) 0,002 014 160 156 254 483 251 2 × 2 = 0 + 0,004 028 320 312 508 966 502 4;
  • 21) 0,004 028 320 312 508 966 502 4 × 2 = 0 + 0,008 056 640 625 017 933 004 8;
  • 22) 0,008 056 640 625 017 933 004 8 × 2 = 0 + 0,016 113 281 250 035 866 009 6;
  • 23) 0,016 113 281 250 035 866 009 6 × 2 = 0 + 0,032 226 562 500 071 732 019 2;
  • 24) 0,032 226 562 500 071 732 019 2 × 2 = 0 + 0,064 453 125 000 143 464 038 4;
  • 25) 0,064 453 125 000 143 464 038 4 × 2 = 0 + 0,128 906 250 000 286 928 076 8;
  • 26) 0,128 906 250 000 286 928 076 8 × 2 = 0 + 0,257 812 500 000 573 856 153 6;
  • 27) 0,257 812 500 000 573 856 153 6 × 2 = 0 + 0,515 625 000 001 147 712 307 2;
  • 28) 0,515 625 000 001 147 712 307 2 × 2 = 1 + 0,031 250 000 002 295 424 614 4;
  • 29) 0,031 250 000 002 295 424 614 4 × 2 = 0 + 0,062 500 000 004 590 849 228 8;
  • 30) 0,062 500 000 004 590 849 228 8 × 2 = 0 + 0,125 000 000 009 181 698 457 6;
  • 31) 0,125 000 000 009 181 698 457 6 × 2 = 0 + 0,250 000 000 018 363 396 915 2;
  • 32) 0,250 000 000 018 363 396 915 2 × 2 = 0 + 0,500 000 000 036 726 793 830 4;
  • 33) 0,500 000 000 036 726 793 830 4 × 2 = 1 + 0,000 000 000 073 453 587 660 8;
  • 34) 0,000 000 000 073 453 587 660 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 907 175 321 6;
  • 35) 0,000 000 000 146 907 175 321 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 814 350 643 2;
  • 36) 0,000 000 000 293 814 350 643 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 628 701 286 4;
  • 37) 0,000 000 000 587 628 701 286 4 × 2 = 0 + 0,000 000 001 175 257 402 572 8;
  • 38) 0,000 000 001 175 257 402 572 8 × 2 = 0 + 0,000 000 002 350 514 805 145 6;
  • 39) 0,000 000 002 350 514 805 145 6 × 2 = 0 + 0,000 000 004 701 029 610 291 2;
  • 40) 0,000 000 004 701 029 610 291 2 × 2 = 0 + 0,000 000 009 402 059 220 582 4;
  • 41) 0,000 000 009 402 059 220 582 4 × 2 = 0 + 0,000 000 018 804 118 441 164 8;
  • 42) 0,000 000 018 804 118 441 164 8 × 2 = 0 + 0,000 000 037 608 236 882 329 6;
  • 43) 0,000 000 037 608 236 882 329 6 × 2 = 0 + 0,000 000 075 216 473 764 659 2;
  • 44) 0,000 000 075 216 473 764 659 2 × 2 = 0 + 0,000 000 150 432 947 529 318 4;
  • 45) 0,000 000 150 432 947 529 318 4 × 2 = 0 + 0,000 000 300 865 895 058 636 8;
  • 46) 0,000 000 300 865 895 058 636 8 × 2 = 0 + 0,000 000 601 731 790 117 273 6;
  • 47) 0,000 000 601 731 790 117 273 6 × 2 = 0 + 0,000 001 203 463 580 234 547 2;
  • 48) 0,000 001 203 463 580 234 547 2 × 2 = 0 + 0,000 002 406 927 160 469 094 4;
  • 49) 0,000 002 406 927 160 469 094 4 × 2 = 0 + 0,000 004 813 854 320 938 188 8;
  • 50) 0,000 004 813 854 320 938 188 8 × 2 = 0 + 0,000 009 627 708 641 876 377 6;
  • 51) 0,000 009 627 708 641 876 377 6 × 2 = 0 + 0,000 019 255 417 283 752 755 2;
  • 52) 0,000 019 255 417 283 752 755 2 × 2 = 0 + 0,000 038 510 834 567 505 510 4;
  • 53) 0,000 038 510 834 567 505 510 4 × 2 = 0 + 0,000 077 021 669 135 011 020 8;
  • 54) 0,000 077 021 669 135 011 020 8 × 2 = 0 + 0,000 154 043 338 270 022 041 6;
  • 55) 0,000 154 043 338 270 022 041 6 × 2 = 0 + 0,000 308 086 676 540 044 083 2;
  • 56) 0,000 308 086 676 540 044 083 2 × 2 = 0 + 0,000 616 173 353 080 088 166 4;
  • 57) 0,000 616 173 353 080 088 166 4 × 2 = 0 + 0,001 232 346 706 160 176 332 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,052 097 324 398 346 245 297 4(10) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,052 097 324 398 346 245 297 4(10) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,052 097 324 398 346 245 297 4(10) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) =

0,0000 1101 0101 0110 0100 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000(2) × 2-5


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 =

1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000


Numărul zecimal 0,052 097 324 398 346 245 297 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1010 - 1010 1010 1100 1000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere 0,052 097 324 398 346 245 299 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100