0,099 182 195 961 644 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,099 182 195 961 644(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,099 182 195 961 644(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,099 182 195 961 644.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,099 182 195 961 644 × 2 = 0 + 0,198 364 391 923 288;
  • 2) 0,198 364 391 923 288 × 2 = 0 + 0,396 728 783 846 576;
  • 3) 0,396 728 783 846 576 × 2 = 0 + 0,793 457 567 693 152;
  • 4) 0,793 457 567 693 152 × 2 = 1 + 0,586 915 135 386 304;
  • 5) 0,586 915 135 386 304 × 2 = 1 + 0,173 830 270 772 608;
  • 6) 0,173 830 270 772 608 × 2 = 0 + 0,347 660 541 545 216;
  • 7) 0,347 660 541 545 216 × 2 = 0 + 0,695 321 083 090 432;
  • 8) 0,695 321 083 090 432 × 2 = 1 + 0,390 642 166 180 864;
  • 9) 0,390 642 166 180 864 × 2 = 0 + 0,781 284 332 361 728;
  • 10) 0,781 284 332 361 728 × 2 = 1 + 0,562 568 664 723 456;
  • 11) 0,562 568 664 723 456 × 2 = 1 + 0,125 137 329 446 912;
  • 12) 0,125 137 329 446 912 × 2 = 0 + 0,250 274 658 893 824;
  • 13) 0,250 274 658 893 824 × 2 = 0 + 0,500 549 317 787 648;
  • 14) 0,500 549 317 787 648 × 2 = 1 + 0,001 098 635 575 296;
  • 15) 0,001 098 635 575 296 × 2 = 0 + 0,002 197 271 150 592;
  • 16) 0,002 197 271 150 592 × 2 = 0 + 0,004 394 542 301 184;
  • 17) 0,004 394 542 301 184 × 2 = 0 + 0,008 789 084 602 368;
  • 18) 0,008 789 084 602 368 × 2 = 0 + 0,017 578 169 204 736;
  • 19) 0,017 578 169 204 736 × 2 = 0 + 0,035 156 338 409 472;
  • 20) 0,035 156 338 409 472 × 2 = 0 + 0,070 312 676 818 944;
  • 21) 0,070 312 676 818 944 × 2 = 0 + 0,140 625 353 637 888;
  • 22) 0,140 625 353 637 888 × 2 = 0 + 0,281 250 707 275 776;
  • 23) 0,281 250 707 275 776 × 2 = 0 + 0,562 501 414 551 552;
  • 24) 0,562 501 414 551 552 × 2 = 1 + 0,125 002 829 103 104;
  • 25) 0,125 002 829 103 104 × 2 = 0 + 0,250 005 658 206 208;
  • 26) 0,250 005 658 206 208 × 2 = 0 + 0,500 011 316 412 416;
  • 27) 0,500 011 316 412 416 × 2 = 1 + 0,000 022 632 824 832;
  • 28) 0,000 022 632 824 832 × 2 = 0 + 0,000 045 265 649 664;
  • 29) 0,000 045 265 649 664 × 2 = 0 + 0,000 090 531 299 328;
  • 30) 0,000 090 531 299 328 × 2 = 0 + 0,000 181 062 598 656;
  • 31) 0,000 181 062 598 656 × 2 = 0 + 0,000 362 125 197 312;
  • 32) 0,000 362 125 197 312 × 2 = 0 + 0,000 724 250 394 624;
  • 33) 0,000 724 250 394 624 × 2 = 0 + 0,001 448 500 789 248;
  • 34) 0,001 448 500 789 248 × 2 = 0 + 0,002 897 001 578 496;
  • 35) 0,002 897 001 578 496 × 2 = 0 + 0,005 794 003 156 992;
  • 36) 0,005 794 003 156 992 × 2 = 0 + 0,011 588 006 313 984;
  • 37) 0,011 588 006 313 984 × 2 = 0 + 0,023 176 012 627 968;
  • 38) 0,023 176 012 627 968 × 2 = 0 + 0,046 352 025 255 936;
  • 39) 0,046 352 025 255 936 × 2 = 0 + 0,092 704 050 511 872;
  • 40) 0,092 704 050 511 872 × 2 = 0 + 0,185 408 101 023 744;
  • 41) 0,185 408 101 023 744 × 2 = 0 + 0,370 816 202 047 488;
  • 42) 0,370 816 202 047 488 × 2 = 0 + 0,741 632 404 094 976;
  • 43) 0,741 632 404 094 976 × 2 = 1 + 0,483 264 808 189 952;
  • 44) 0,483 264 808 189 952 × 2 = 0 + 0,966 529 616 379 904;
  • 45) 0,966 529 616 379 904 × 2 = 1 + 0,933 059 232 759 808;
  • 46) 0,933 059 232 759 808 × 2 = 1 + 0,866 118 465 519 616;
  • 47) 0,866 118 465 519 616 × 2 = 1 + 0,732 236 931 039 232;
  • 48) 0,732 236 931 039 232 × 2 = 1 + 0,464 473 862 078 464;
  • 49) 0,464 473 862 078 464 × 2 = 0 + 0,928 947 724 156 928;
  • 50) 0,928 947 724 156 928 × 2 = 1 + 0,857 895 448 313 856;
  • 51) 0,857 895 448 313 856 × 2 = 1 + 0,715 790 896 627 712;
  • 52) 0,715 790 896 627 712 × 2 = 1 + 0,431 581 793 255 424;
  • 53) 0,431 581 793 255 424 × 2 = 0 + 0,863 163 586 510 848;
  • 54) 0,863 163 586 510 848 × 2 = 1 + 0,726 327 173 021 696;
  • 55) 0,726 327 173 021 696 × 2 = 1 + 0,452 654 346 043 392;
  • 56) 0,452 654 346 043 392 × 2 = 0 + 0,905 308 692 086 784;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,099 182 195 961 644(10) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,099 182 195 961 644(10) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,099 182 195 961 644(10) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110(2) =

0,0001 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110(2) × 20 =

1,1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110 =

1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110


Numărul zecimal 0,099 182 195 961 644 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1001 0110 0100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0010 1111 0111 0110

Distribuie

» Scriere 0,099 182 195 961 597 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100