0,101 010 101 010 101 010 188 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,101 010 101 010 101 010 188(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,101 010 101 010 101 010 188(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,101 010 101 010 101 010 188.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,101 010 101 010 101 010 188 × 2 = 0 + 0,202 020 202 020 202 020 376;
  • 2) 0,202 020 202 020 202 020 376 × 2 = 0 + 0,404 040 404 040 404 040 752;
  • 3) 0,404 040 404 040 404 040 752 × 2 = 0 + 0,808 080 808 080 808 081 504;
  • 4) 0,808 080 808 080 808 081 504 × 2 = 1 + 0,616 161 616 161 616 163 008;
  • 5) 0,616 161 616 161 616 163 008 × 2 = 1 + 0,232 323 232 323 232 326 016;
  • 6) 0,232 323 232 323 232 326 016 × 2 = 0 + 0,464 646 464 646 464 652 032;
  • 7) 0,464 646 464 646 464 652 032 × 2 = 0 + 0,929 292 929 292 929 304 064;
  • 8) 0,929 292 929 292 929 304 064 × 2 = 1 + 0,858 585 858 585 858 608 128;
  • 9) 0,858 585 858 585 858 608 128 × 2 = 1 + 0,717 171 717 171 717 216 256;
  • 10) 0,717 171 717 171 717 216 256 × 2 = 1 + 0,434 343 434 343 434 432 512;
  • 11) 0,434 343 434 343 434 432 512 × 2 = 0 + 0,868 686 868 686 868 865 024;
  • 12) 0,868 686 868 686 868 865 024 × 2 = 1 + 0,737 373 737 373 737 730 048;
  • 13) 0,737 373 737 373 737 730 048 × 2 = 1 + 0,474 747 474 747 475 460 096;
  • 14) 0,474 747 474 747 475 460 096 × 2 = 0 + 0,949 494 949 494 950 920 192;
  • 15) 0,949 494 949 494 950 920 192 × 2 = 1 + 0,898 989 898 989 901 840 384;
  • 16) 0,898 989 898 989 901 840 384 × 2 = 1 + 0,797 979 797 979 803 680 768;
  • 17) 0,797 979 797 979 803 680 768 × 2 = 1 + 0,595 959 595 959 607 361 536;
  • 18) 0,595 959 595 959 607 361 536 × 2 = 1 + 0,191 919 191 919 214 723 072;
  • 19) 0,191 919 191 919 214 723 072 × 2 = 0 + 0,383 838 383 838 429 446 144;
  • 20) 0,383 838 383 838 429 446 144 × 2 = 0 + 0,767 676 767 676 858 892 288;
  • 21) 0,767 676 767 676 858 892 288 × 2 = 1 + 0,535 353 535 353 717 784 576;
  • 22) 0,535 353 535 353 717 784 576 × 2 = 1 + 0,070 707 070 707 435 569 152;
  • 23) 0,070 707 070 707 435 569 152 × 2 = 0 + 0,141 414 141 414 871 138 304;
  • 24) 0,141 414 141 414 871 138 304 × 2 = 0 + 0,282 828 282 829 742 276 608;
  • 25) 0,282 828 282 829 742 276 608 × 2 = 0 + 0,565 656 565 659 484 553 216;
  • 26) 0,565 656 565 659 484 553 216 × 2 = 1 + 0,131 313 131 318 969 106 432;
  • 27) 0,131 313 131 318 969 106 432 × 2 = 0 + 0,262 626 262 637 938 212 864;
  • 28) 0,262 626 262 637 938 212 864 × 2 = 0 + 0,525 252 525 275 876 425 728;
  • 29) 0,525 252 525 275 876 425 728 × 2 = 1 + 0,050 505 050 551 752 851 456;
  • 30) 0,050 505 050 551 752 851 456 × 2 = 0 + 0,101 010 101 103 505 702 912;
  • 31) 0,101 010 101 103 505 702 912 × 2 = 0 + 0,202 020 202 207 011 405 824;
  • 32) 0,202 020 202 207 011 405 824 × 2 = 0 + 0,404 040 404 414 022 811 648;
  • 33) 0,404 040 404 414 022 811 648 × 2 = 0 + 0,808 080 808 828 045 623 296;
  • 34) 0,808 080 808 828 045 623 296 × 2 = 1 + 0,616 161 617 656 091 246 592;
  • 35) 0,616 161 617 656 091 246 592 × 2 = 1 + 0,232 323 235 312 182 493 184;
  • 36) 0,232 323 235 312 182 493 184 × 2 = 0 + 0,464 646 470 624 364 986 368;
  • 37) 0,464 646 470 624 364 986 368 × 2 = 0 + 0,929 292 941 248 729 972 736;
  • 38) 0,929 292 941 248 729 972 736 × 2 = 1 + 0,858 585 882 497 459 945 472;
  • 39) 0,858 585 882 497 459 945 472 × 2 = 1 + 0,717 171 764 994 919 890 944;
  • 40) 0,717 171 764 994 919 890 944 × 2 = 1 + 0,434 343 529 989 839 781 888;
  • 41) 0,434 343 529 989 839 781 888 × 2 = 0 + 0,868 687 059 979 679 563 776;
  • 42) 0,868 687 059 979 679 563 776 × 2 = 1 + 0,737 374 119 959 359 127 552;
  • 43) 0,737 374 119 959 359 127 552 × 2 = 1 + 0,474 748 239 918 718 255 104;
  • 44) 0,474 748 239 918 718 255 104 × 2 = 0 + 0,949 496 479 837 436 510 208;
  • 45) 0,949 496 479 837 436 510 208 × 2 = 1 + 0,898 992 959 674 873 020 416;
  • 46) 0,898 992 959 674 873 020 416 × 2 = 1 + 0,797 985 919 349 746 040 832;
  • 47) 0,797 985 919 349 746 040 832 × 2 = 1 + 0,595 971 838 699 492 081 664;
  • 48) 0,595 971 838 699 492 081 664 × 2 = 1 + 0,191 943 677 398 984 163 328;
  • 49) 0,191 943 677 398 984 163 328 × 2 = 0 + 0,383 887 354 797 968 326 656;
  • 50) 0,383 887 354 797 968 326 656 × 2 = 0 + 0,767 774 709 595 936 653 312;
  • 51) 0,767 774 709 595 936 653 312 × 2 = 1 + 0,535 549 419 191 873 306 624;
  • 52) 0,535 549 419 191 873 306 624 × 2 = 1 + 0,071 098 838 383 746 613 248;
  • 53) 0,071 098 838 383 746 613 248 × 2 = 0 + 0,142 197 676 767 493 226 496;
  • 54) 0,142 197 676 767 493 226 496 × 2 = 0 + 0,284 395 353 534 986 452 992;
  • 55) 0,284 395 353 534 986 452 992 × 2 = 0 + 0,568 790 707 069 972 905 984;
  • 56) 0,568 790 707 069 972 905 984 × 2 = 1 + 0,137 581 414 139 945 811 968;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,101 010 101 010 101 010 188(10) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,101 010 101 010 101 010 188(10) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,101 010 101 010 101 010 188(10) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2) =

0,0001 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2) × 20 =

1,1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001(2) × 2-4


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001 =

1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001


Numărul zecimal 0,101 010 101 010 101 010 188 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1011 - 1001 1101 1011 1100 1100 0100 1000 0110 0111 0110 1111 0011 0001

Distribuie

» Scriere 0,101 010 101 010 101 010 123 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100