0,142 857 142 857 142 857 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,142 857 142 857 142 857 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,142 857 142 857 142 857 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 142 857 142 857 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 142 857 142 857 7 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 715 4;
  • 2) 0,285 714 285 714 285 715 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 430 8;
  • 3) 0,571 428 571 428 571 430 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 861 6;
  • 4) 0,142 857 142 857 142 861 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 723 2;
  • 5) 0,285 714 285 714 285 723 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 446 4;
  • 6) 0,571 428 571 428 571 446 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 892 8;
  • 7) 0,142 857 142 857 142 892 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 785 6;
  • 8) 0,285 714 285 714 285 785 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 571 2;
  • 9) 0,571 428 571 428 571 571 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 143 142 4;
  • 10) 0,142 857 142 857 143 142 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 286 284 8;
  • 11) 0,285 714 285 714 286 284 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 572 569 6;
  • 12) 0,571 428 571 428 572 569 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 145 139 2;
  • 13) 0,142 857 142 857 145 139 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 290 278 4;
  • 14) 0,285 714 285 714 290 278 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 580 556 8;
  • 15) 0,571 428 571 428 580 556 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 161 113 6;
  • 16) 0,142 857 142 857 161 113 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 322 227 2;
  • 17) 0,285 714 285 714 322 227 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 644 454 4;
  • 18) 0,571 428 571 428 644 454 4 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 288 908 8;
  • 19) 0,142 857 142 857 288 908 8 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 577 817 6;
  • 20) 0,285 714 285 714 577 817 6 × 2 = 0 + 0,571 428 571 429 155 635 2;
  • 21) 0,571 428 571 429 155 635 2 × 2 = 1 + 0,142 857 142 858 311 270 4;
  • 22) 0,142 857 142 858 311 270 4 × 2 = 0 + 0,285 714 285 716 622 540 8;
  • 23) 0,285 714 285 716 622 540 8 × 2 = 0 + 0,571 428 571 433 245 081 6;
  • 24) 0,571 428 571 433 245 081 6 × 2 = 1 + 0,142 857 142 866 490 163 2;
  • 25) 0,142 857 142 866 490 163 2 × 2 = 0 + 0,285 714 285 732 980 326 4;
  • 26) 0,285 714 285 732 980 326 4 × 2 = 0 + 0,571 428 571 465 960 652 8;
  • 27) 0,571 428 571 465 960 652 8 × 2 = 1 + 0,142 857 142 931 921 305 6;
  • 28) 0,142 857 142 931 921 305 6 × 2 = 0 + 0,285 714 285 863 842 611 2;
  • 29) 0,285 714 285 863 842 611 2 × 2 = 0 + 0,571 428 571 727 685 222 4;
  • 30) 0,571 428 571 727 685 222 4 × 2 = 1 + 0,142 857 143 455 370 444 8;
  • 31) 0,142 857 143 455 370 444 8 × 2 = 0 + 0,285 714 286 910 740 889 6;
  • 32) 0,285 714 286 910 740 889 6 × 2 = 0 + 0,571 428 573 821 481 779 2;
  • 33) 0,571 428 573 821 481 779 2 × 2 = 1 + 0,142 857 147 642 963 558 4;
  • 34) 0,142 857 147 642 963 558 4 × 2 = 0 + 0,285 714 295 285 927 116 8;
  • 35) 0,285 714 295 285 927 116 8 × 2 = 0 + 0,571 428 590 571 854 233 6;
  • 36) 0,571 428 590 571 854 233 6 × 2 = 1 + 0,142 857 181 143 708 467 2;
  • 37) 0,142 857 181 143 708 467 2 × 2 = 0 + 0,285 714 362 287 416 934 4;
  • 38) 0,285 714 362 287 416 934 4 × 2 = 0 + 0,571 428 724 574 833 868 8;
  • 39) 0,571 428 724 574 833 868 8 × 2 = 1 + 0,142 857 449 149 667 737 6;
  • 40) 0,142 857 449 149 667 737 6 × 2 = 0 + 0,285 714 898 299 335 475 2;
  • 41) 0,285 714 898 299 335 475 2 × 2 = 0 + 0,571 429 796 598 670 950 4;
  • 42) 0,571 429 796 598 670 950 4 × 2 = 1 + 0,142 859 593 197 341 900 8;
  • 43) 0,142 859 593 197 341 900 8 × 2 = 0 + 0,285 719 186 394 683 801 6;
  • 44) 0,285 719 186 394 683 801 6 × 2 = 0 + 0,571 438 372 789 367 603 2;
  • 45) 0,571 438 372 789 367 603 2 × 2 = 1 + 0,142 876 745 578 735 206 4;
  • 46) 0,142 876 745 578 735 206 4 × 2 = 0 + 0,285 753 491 157 470 412 8;
  • 47) 0,285 753 491 157 470 412 8 × 2 = 0 + 0,571 506 982 314 940 825 6;
  • 48) 0,571 506 982 314 940 825 6 × 2 = 1 + 0,143 013 964 629 881 651 2;
  • 49) 0,143 013 964 629 881 651 2 × 2 = 0 + 0,286 027 929 259 763 302 4;
  • 50) 0,286 027 929 259 763 302 4 × 2 = 0 + 0,572 055 858 519 526 604 8;
  • 51) 0,572 055 858 519 526 604 8 × 2 = 1 + 0,144 111 717 039 053 209 6;
  • 52) 0,144 111 717 039 053 209 6 × 2 = 0 + 0,288 223 434 078 106 419 2;
  • 53) 0,288 223 434 078 106 419 2 × 2 = 0 + 0,576 446 868 156 212 838 4;
  • 54) 0,576 446 868 156 212 838 4 × 2 = 1 + 0,152 893 736 312 425 676 8;
  • 55) 0,152 893 736 312 425 676 8 × 2 = 0 + 0,305 787 472 624 851 353 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 142 857 142 857 7(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,142 857 142 857 142 857 7(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,142 857 142 857 142 857 7(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2) × 20 =

1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 =

0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


Numărul zecimal 0,142 857 142 857 142 857 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010

Distribuie

» Scriere 0,142 857 142 857 142 867 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100