0,367 879 441 171 444 15 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,367 879 441 171 444 15(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,367 879 441 171 444 15(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,367 879 441 171 444 15.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,367 879 441 171 444 15 × 2 = 0 + 0,735 758 882 342 888 3;
  • 2) 0,735 758 882 342 888 3 × 2 = 1 + 0,471 517 764 685 776 6;
  • 3) 0,471 517 764 685 776 6 × 2 = 0 + 0,943 035 529 371 553 2;
  • 4) 0,943 035 529 371 553 2 × 2 = 1 + 0,886 071 058 743 106 4;
  • 5) 0,886 071 058 743 106 4 × 2 = 1 + 0,772 142 117 486 212 8;
  • 6) 0,772 142 117 486 212 8 × 2 = 1 + 0,544 284 234 972 425 6;
  • 7) 0,544 284 234 972 425 6 × 2 = 1 + 0,088 568 469 944 851 2;
  • 8) 0,088 568 469 944 851 2 × 2 = 0 + 0,177 136 939 889 702 4;
  • 9) 0,177 136 939 889 702 4 × 2 = 0 + 0,354 273 879 779 404 8;
  • 10) 0,354 273 879 779 404 8 × 2 = 0 + 0,708 547 759 558 809 6;
  • 11) 0,708 547 759 558 809 6 × 2 = 1 + 0,417 095 519 117 619 2;
  • 12) 0,417 095 519 117 619 2 × 2 = 0 + 0,834 191 038 235 238 4;
  • 13) 0,834 191 038 235 238 4 × 2 = 1 + 0,668 382 076 470 476 8;
  • 14) 0,668 382 076 470 476 8 × 2 = 1 + 0,336 764 152 940 953 6;
  • 15) 0,336 764 152 940 953 6 × 2 = 0 + 0,673 528 305 881 907 2;
  • 16) 0,673 528 305 881 907 2 × 2 = 1 + 0,347 056 611 763 814 4;
  • 17) 0,347 056 611 763 814 4 × 2 = 0 + 0,694 113 223 527 628 8;
  • 18) 0,694 113 223 527 628 8 × 2 = 1 + 0,388 226 447 055 257 6;
  • 19) 0,388 226 447 055 257 6 × 2 = 0 + 0,776 452 894 110 515 2;
  • 20) 0,776 452 894 110 515 2 × 2 = 1 + 0,552 905 788 221 030 4;
  • 21) 0,552 905 788 221 030 4 × 2 = 1 + 0,105 811 576 442 060 8;
  • 22) 0,105 811 576 442 060 8 × 2 = 0 + 0,211 623 152 884 121 6;
  • 23) 0,211 623 152 884 121 6 × 2 = 0 + 0,423 246 305 768 243 2;
  • 24) 0,423 246 305 768 243 2 × 2 = 0 + 0,846 492 611 536 486 4;
  • 25) 0,846 492 611 536 486 4 × 2 = 1 + 0,692 985 223 072 972 8;
  • 26) 0,692 985 223 072 972 8 × 2 = 1 + 0,385 970 446 145 945 6;
  • 27) 0,385 970 446 145 945 6 × 2 = 0 + 0,771 940 892 291 891 2;
  • 28) 0,771 940 892 291 891 2 × 2 = 1 + 0,543 881 784 583 782 4;
  • 29) 0,543 881 784 583 782 4 × 2 = 1 + 0,087 763 569 167 564 8;
  • 30) 0,087 763 569 167 564 8 × 2 = 0 + 0,175 527 138 335 129 6;
  • 31) 0,175 527 138 335 129 6 × 2 = 0 + 0,351 054 276 670 259 2;
  • 32) 0,351 054 276 670 259 2 × 2 = 0 + 0,702 108 553 340 518 4;
  • 33) 0,702 108 553 340 518 4 × 2 = 1 + 0,404 217 106 681 036 8;
  • 34) 0,404 217 106 681 036 8 × 2 = 0 + 0,808 434 213 362 073 6;
  • 35) 0,808 434 213 362 073 6 × 2 = 1 + 0,616 868 426 724 147 2;
  • 36) 0,616 868 426 724 147 2 × 2 = 1 + 0,233 736 853 448 294 4;
  • 37) 0,233 736 853 448 294 4 × 2 = 0 + 0,467 473 706 896 588 8;
  • 38) 0,467 473 706 896 588 8 × 2 = 0 + 0,934 947 413 793 177 6;
  • 39) 0,934 947 413 793 177 6 × 2 = 1 + 0,869 894 827 586 355 2;
  • 40) 0,869 894 827 586 355 2 × 2 = 1 + 0,739 789 655 172 710 4;
  • 41) 0,739 789 655 172 710 4 × 2 = 1 + 0,479 579 310 345 420 8;
  • 42) 0,479 579 310 345 420 8 × 2 = 0 + 0,959 158 620 690 841 6;
  • 43) 0,959 158 620 690 841 6 × 2 = 1 + 0,918 317 241 381 683 2;
  • 44) 0,918 317 241 381 683 2 × 2 = 1 + 0,836 634 482 763 366 4;
  • 45) 0,836 634 482 763 366 4 × 2 = 1 + 0,673 268 965 526 732 8;
  • 46) 0,673 268 965 526 732 8 × 2 = 1 + 0,346 537 931 053 465 6;
  • 47) 0,346 537 931 053 465 6 × 2 = 0 + 0,693 075 862 106 931 2;
  • 48) 0,693 075 862 106 931 2 × 2 = 1 + 0,386 151 724 213 862 4;
  • 49) 0,386 151 724 213 862 4 × 2 = 0 + 0,772 303 448 427 724 8;
  • 50) 0,772 303 448 427 724 8 × 2 = 1 + 0,544 606 896 855 449 6;
  • 51) 0,544 606 896 855 449 6 × 2 = 1 + 0,089 213 793 710 899 2;
  • 52) 0,089 213 793 710 899 2 × 2 = 0 + 0,178 427 587 421 798 4;
  • 53) 0,178 427 587 421 798 4 × 2 = 0 + 0,356 855 174 843 596 8;
  • 54) 0,356 855 174 843 596 8 × 2 = 0 + 0,713 710 349 687 193 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,367 879 441 171 444 15(10) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0110 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,367 879 441 171 444 15(10) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0110 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,367 879 441 171 444 15(10) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0110 00(2) =

0,0101 1110 0010 1101 0101 1000 1101 1000 1011 0011 1011 1101 0110 00(2) × 20 =

1,0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0101 1000(2) × 2-2


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0101 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0101 1000 =

0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0101 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0101 1000


Numărul zecimal 0,367 879 441 171 444 15 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1101 - 0111 1000 1011 0101 0110 0011 0110 0010 1100 1110 1111 0101 1000

Distribuie

» Scriere 0,367 879 441 171 443 54 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100