0,620 928 906 036 742 024 294 89 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,620 928 906 036 742 024 294 89(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,620 928 906 036 742 024 294 89(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,620 928 906 036 742 024 294 89.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,620 928 906 036 742 024 294 89 × 2 = 1 + 0,241 857 812 073 484 048 589 78;
  • 2) 0,241 857 812 073 484 048 589 78 × 2 = 0 + 0,483 715 624 146 968 097 179 56;
  • 3) 0,483 715 624 146 968 097 179 56 × 2 = 0 + 0,967 431 248 293 936 194 359 12;
  • 4) 0,967 431 248 293 936 194 359 12 × 2 = 1 + 0,934 862 496 587 872 388 718 24;
  • 5) 0,934 862 496 587 872 388 718 24 × 2 = 1 + 0,869 724 993 175 744 777 436 48;
  • 6) 0,869 724 993 175 744 777 436 48 × 2 = 1 + 0,739 449 986 351 489 554 872 96;
  • 7) 0,739 449 986 351 489 554 872 96 × 2 = 1 + 0,478 899 972 702 979 109 745 92;
  • 8) 0,478 899 972 702 979 109 745 92 × 2 = 0 + 0,957 799 945 405 958 219 491 84;
  • 9) 0,957 799 945 405 958 219 491 84 × 2 = 1 + 0,915 599 890 811 916 438 983 68;
  • 10) 0,915 599 890 811 916 438 983 68 × 2 = 1 + 0,831 199 781 623 832 877 967 36;
  • 11) 0,831 199 781 623 832 877 967 36 × 2 = 1 + 0,662 399 563 247 665 755 934 72;
  • 12) 0,662 399 563 247 665 755 934 72 × 2 = 1 + 0,324 799 126 495 331 511 869 44;
  • 13) 0,324 799 126 495 331 511 869 44 × 2 = 0 + 0,649 598 252 990 663 023 738 88;
  • 14) 0,649 598 252 990 663 023 738 88 × 2 = 1 + 0,299 196 505 981 326 047 477 76;
  • 15) 0,299 196 505 981 326 047 477 76 × 2 = 0 + 0,598 393 011 962 652 094 955 52;
  • 16) 0,598 393 011 962 652 094 955 52 × 2 = 1 + 0,196 786 023 925 304 189 911 04;
  • 17) 0,196 786 023 925 304 189 911 04 × 2 = 0 + 0,393 572 047 850 608 379 822 08;
  • 18) 0,393 572 047 850 608 379 822 08 × 2 = 0 + 0,787 144 095 701 216 759 644 16;
  • 19) 0,787 144 095 701 216 759 644 16 × 2 = 1 + 0,574 288 191 402 433 519 288 32;
  • 20) 0,574 288 191 402 433 519 288 32 × 2 = 1 + 0,148 576 382 804 867 038 576 64;
  • 21) 0,148 576 382 804 867 038 576 64 × 2 = 0 + 0,297 152 765 609 734 077 153 28;
  • 22) 0,297 152 765 609 734 077 153 28 × 2 = 0 + 0,594 305 531 219 468 154 306 56;
  • 23) 0,594 305 531 219 468 154 306 56 × 2 = 1 + 0,188 611 062 438 936 308 613 12;
  • 24) 0,188 611 062 438 936 308 613 12 × 2 = 0 + 0,377 222 124 877 872 617 226 24;
  • 25) 0,377 222 124 877 872 617 226 24 × 2 = 0 + 0,754 444 249 755 745 234 452 48;
  • 26) 0,754 444 249 755 745 234 452 48 × 2 = 1 + 0,508 888 499 511 490 468 904 96;
  • 27) 0,508 888 499 511 490 468 904 96 × 2 = 1 + 0,017 776 999 022 980 937 809 92;
  • 28) 0,017 776 999 022 980 937 809 92 × 2 = 0 + 0,035 553 998 045 961 875 619 84;
  • 29) 0,035 553 998 045 961 875 619 84 × 2 = 0 + 0,071 107 996 091 923 751 239 68;
  • 30) 0,071 107 996 091 923 751 239 68 × 2 = 0 + 0,142 215 992 183 847 502 479 36;
  • 31) 0,142 215 992 183 847 502 479 36 × 2 = 0 + 0,284 431 984 367 695 004 958 72;
  • 32) 0,284 431 984 367 695 004 958 72 × 2 = 0 + 0,568 863 968 735 390 009 917 44;
  • 33) 0,568 863 968 735 390 009 917 44 × 2 = 1 + 0,137 727 937 470 780 019 834 88;
  • 34) 0,137 727 937 470 780 019 834 88 × 2 = 0 + 0,275 455 874 941 560 039 669 76;
  • 35) 0,275 455 874 941 560 039 669 76 × 2 = 0 + 0,550 911 749 883 120 079 339 52;
  • 36) 0,550 911 749 883 120 079 339 52 × 2 = 1 + 0,101 823 499 766 240 158 679 04;
  • 37) 0,101 823 499 766 240 158 679 04 × 2 = 0 + 0,203 646 999 532 480 317 358 08;
  • 38) 0,203 646 999 532 480 317 358 08 × 2 = 0 + 0,407 293 999 064 960 634 716 16;
  • 39) 0,407 293 999 064 960 634 716 16 × 2 = 0 + 0,814 587 998 129 921 269 432 32;
  • 40) 0,814 587 998 129 921 269 432 32 × 2 = 1 + 0,629 175 996 259 842 538 864 64;
  • 41) 0,629 175 996 259 842 538 864 64 × 2 = 1 + 0,258 351 992 519 685 077 729 28;
  • 42) 0,258 351 992 519 685 077 729 28 × 2 = 0 + 0,516 703 985 039 370 155 458 56;
  • 43) 0,516 703 985 039 370 155 458 56 × 2 = 1 + 0,033 407 970 078 740 310 917 12;
  • 44) 0,033 407 970 078 740 310 917 12 × 2 = 0 + 0,066 815 940 157 480 621 834 24;
  • 45) 0,066 815 940 157 480 621 834 24 × 2 = 0 + 0,133 631 880 314 961 243 668 48;
  • 46) 0,133 631 880 314 961 243 668 48 × 2 = 0 + 0,267 263 760 629 922 487 336 96;
  • 47) 0,267 263 760 629 922 487 336 96 × 2 = 0 + 0,534 527 521 259 844 974 673 92;
  • 48) 0,534 527 521 259 844 974 673 92 × 2 = 1 + 0,069 055 042 519 689 949 347 84;
  • 49) 0,069 055 042 519 689 949 347 84 × 2 = 0 + 0,138 110 085 039 379 898 695 68;
  • 50) 0,138 110 085 039 379 898 695 68 × 2 = 0 + 0,276 220 170 078 759 797 391 36;
  • 51) 0,276 220 170 078 759 797 391 36 × 2 = 0 + 0,552 440 340 157 519 594 782 72;
  • 52) 0,552 440 340 157 519 594 782 72 × 2 = 1 + 0,104 880 680 315 039 189 565 44;
  • 53) 0,104 880 680 315 039 189 565 44 × 2 = 0 + 0,209 761 360 630 078 379 130 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,620 928 906 036 742 024 294 89(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,620 928 906 036 742 024 294 89(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,620 928 906 036 742 024 294 89(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) × 20 =

1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010 =

0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


Numărul zecimal 0,620 928 906 036 742 024 294 89 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010

Distribuie

» Scriere 0,620 928 906 036 742 024 294 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100