0,620 928 906 036 742 024 297 51 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,620 928 906 036 742 024 297 51(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,620 928 906 036 742 024 297 51(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,620 928 906 036 742 024 297 51.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,620 928 906 036 742 024 297 51 × 2 = 1 + 0,241 857 812 073 484 048 595 02;
  • 2) 0,241 857 812 073 484 048 595 02 × 2 = 0 + 0,483 715 624 146 968 097 190 04;
  • 3) 0,483 715 624 146 968 097 190 04 × 2 = 0 + 0,967 431 248 293 936 194 380 08;
  • 4) 0,967 431 248 293 936 194 380 08 × 2 = 1 + 0,934 862 496 587 872 388 760 16;
  • 5) 0,934 862 496 587 872 388 760 16 × 2 = 1 + 0,869 724 993 175 744 777 520 32;
  • 6) 0,869 724 993 175 744 777 520 32 × 2 = 1 + 0,739 449 986 351 489 555 040 64;
  • 7) 0,739 449 986 351 489 555 040 64 × 2 = 1 + 0,478 899 972 702 979 110 081 28;
  • 8) 0,478 899 972 702 979 110 081 28 × 2 = 0 + 0,957 799 945 405 958 220 162 56;
  • 9) 0,957 799 945 405 958 220 162 56 × 2 = 1 + 0,915 599 890 811 916 440 325 12;
  • 10) 0,915 599 890 811 916 440 325 12 × 2 = 1 + 0,831 199 781 623 832 880 650 24;
  • 11) 0,831 199 781 623 832 880 650 24 × 2 = 1 + 0,662 399 563 247 665 761 300 48;
  • 12) 0,662 399 563 247 665 761 300 48 × 2 = 1 + 0,324 799 126 495 331 522 600 96;
  • 13) 0,324 799 126 495 331 522 600 96 × 2 = 0 + 0,649 598 252 990 663 045 201 92;
  • 14) 0,649 598 252 990 663 045 201 92 × 2 = 1 + 0,299 196 505 981 326 090 403 84;
  • 15) 0,299 196 505 981 326 090 403 84 × 2 = 0 + 0,598 393 011 962 652 180 807 68;
  • 16) 0,598 393 011 962 652 180 807 68 × 2 = 1 + 0,196 786 023 925 304 361 615 36;
  • 17) 0,196 786 023 925 304 361 615 36 × 2 = 0 + 0,393 572 047 850 608 723 230 72;
  • 18) 0,393 572 047 850 608 723 230 72 × 2 = 0 + 0,787 144 095 701 217 446 461 44;
  • 19) 0,787 144 095 701 217 446 461 44 × 2 = 1 + 0,574 288 191 402 434 892 922 88;
  • 20) 0,574 288 191 402 434 892 922 88 × 2 = 1 + 0,148 576 382 804 869 785 845 76;
  • 21) 0,148 576 382 804 869 785 845 76 × 2 = 0 + 0,297 152 765 609 739 571 691 52;
  • 22) 0,297 152 765 609 739 571 691 52 × 2 = 0 + 0,594 305 531 219 479 143 383 04;
  • 23) 0,594 305 531 219 479 143 383 04 × 2 = 1 + 0,188 611 062 438 958 286 766 08;
  • 24) 0,188 611 062 438 958 286 766 08 × 2 = 0 + 0,377 222 124 877 916 573 532 16;
  • 25) 0,377 222 124 877 916 573 532 16 × 2 = 0 + 0,754 444 249 755 833 147 064 32;
  • 26) 0,754 444 249 755 833 147 064 32 × 2 = 1 + 0,508 888 499 511 666 294 128 64;
  • 27) 0,508 888 499 511 666 294 128 64 × 2 = 1 + 0,017 776 999 023 332 588 257 28;
  • 28) 0,017 776 999 023 332 588 257 28 × 2 = 0 + 0,035 553 998 046 665 176 514 56;
  • 29) 0,035 553 998 046 665 176 514 56 × 2 = 0 + 0,071 107 996 093 330 353 029 12;
  • 30) 0,071 107 996 093 330 353 029 12 × 2 = 0 + 0,142 215 992 186 660 706 058 24;
  • 31) 0,142 215 992 186 660 706 058 24 × 2 = 0 + 0,284 431 984 373 321 412 116 48;
  • 32) 0,284 431 984 373 321 412 116 48 × 2 = 0 + 0,568 863 968 746 642 824 232 96;
  • 33) 0,568 863 968 746 642 824 232 96 × 2 = 1 + 0,137 727 937 493 285 648 465 92;
  • 34) 0,137 727 937 493 285 648 465 92 × 2 = 0 + 0,275 455 874 986 571 296 931 84;
  • 35) 0,275 455 874 986 571 296 931 84 × 2 = 0 + 0,550 911 749 973 142 593 863 68;
  • 36) 0,550 911 749 973 142 593 863 68 × 2 = 1 + 0,101 823 499 946 285 187 727 36;
  • 37) 0,101 823 499 946 285 187 727 36 × 2 = 0 + 0,203 646 999 892 570 375 454 72;
  • 38) 0,203 646 999 892 570 375 454 72 × 2 = 0 + 0,407 293 999 785 140 750 909 44;
  • 39) 0,407 293 999 785 140 750 909 44 × 2 = 0 + 0,814 587 999 570 281 501 818 88;
  • 40) 0,814 587 999 570 281 501 818 88 × 2 = 1 + 0,629 175 999 140 563 003 637 76;
  • 41) 0,629 175 999 140 563 003 637 76 × 2 = 1 + 0,258 351 998 281 126 007 275 52;
  • 42) 0,258 351 998 281 126 007 275 52 × 2 = 0 + 0,516 703 996 562 252 014 551 04;
  • 43) 0,516 703 996 562 252 014 551 04 × 2 = 1 + 0,033 407 993 124 504 029 102 08;
  • 44) 0,033 407 993 124 504 029 102 08 × 2 = 0 + 0,066 815 986 249 008 058 204 16;
  • 45) 0,066 815 986 249 008 058 204 16 × 2 = 0 + 0,133 631 972 498 016 116 408 32;
  • 46) 0,133 631 972 498 016 116 408 32 × 2 = 0 + 0,267 263 944 996 032 232 816 64;
  • 47) 0,267 263 944 996 032 232 816 64 × 2 = 0 + 0,534 527 889 992 064 465 633 28;
  • 48) 0,534 527 889 992 064 465 633 28 × 2 = 1 + 0,069 055 779 984 128 931 266 56;
  • 49) 0,069 055 779 984 128 931 266 56 × 2 = 0 + 0,138 111 559 968 257 862 533 12;
  • 50) 0,138 111 559 968 257 862 533 12 × 2 = 0 + 0,276 223 119 936 515 725 066 24;
  • 51) 0,276 223 119 936 515 725 066 24 × 2 = 0 + 0,552 446 239 873 031 450 132 48;
  • 52) 0,552 446 239 873 031 450 132 48 × 2 = 1 + 0,104 892 479 746 062 900 264 96;
  • 53) 0,104 892 479 746 062 900 264 96 × 2 = 0 + 0,209 784 959 492 125 800 529 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,620 928 906 036 742 024 297 51(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,620 928 906 036 742 024 297 51(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,620 928 906 036 742 024 297 51(10) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) =

0,1001 1110 1111 0101 0011 0010 0110 0000 1001 0001 1010 0001 0001 0(2) × 20 =

1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010 =

0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010


Numărul zecimal 0,620 928 906 036 742 024 297 51 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0011 1101 1110 1010 0110 0100 1100 0001 0010 0011 0100 0010 0010

Distribuie

» Scriere 0,620 928 906 036 742 024 296 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100