0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5 × 2 = 1 + 0,296 839 554 651 009 665 933 754 115;
  • 2) 0,296 839 554 651 009 665 933 754 115 × 2 = 0 + 0,593 679 109 302 019 331 867 508 23;
  • 3) 0,593 679 109 302 019 331 867 508 23 × 2 = 1 + 0,187 358 218 604 038 663 735 016 46;
  • 4) 0,187 358 218 604 038 663 735 016 46 × 2 = 0 + 0,374 716 437 208 077 327 470 032 92;
  • 5) 0,374 716 437 208 077 327 470 032 92 × 2 = 0 + 0,749 432 874 416 154 654 940 065 84;
  • 6) 0,749 432 874 416 154 654 940 065 84 × 2 = 1 + 0,498 865 748 832 309 309 880 131 68;
  • 7) 0,498 865 748 832 309 309 880 131 68 × 2 = 0 + 0,997 731 497 664 618 619 760 263 36;
  • 8) 0,997 731 497 664 618 619 760 263 36 × 2 = 1 + 0,995 462 995 329 237 239 520 526 72;
  • 9) 0,995 462 995 329 237 239 520 526 72 × 2 = 1 + 0,990 925 990 658 474 479 041 053 44;
  • 10) 0,990 925 990 658 474 479 041 053 44 × 2 = 1 + 0,981 851 981 316 948 958 082 106 88;
  • 11) 0,981 851 981 316 948 958 082 106 88 × 2 = 1 + 0,963 703 962 633 897 916 164 213 76;
  • 12) 0,963 703 962 633 897 916 164 213 76 × 2 = 1 + 0,927 407 925 267 795 832 328 427 52;
  • 13) 0,927 407 925 267 795 832 328 427 52 × 2 = 1 + 0,854 815 850 535 591 664 656 855 04;
  • 14) 0,854 815 850 535 591 664 656 855 04 × 2 = 1 + 0,709 631 701 071 183 329 313 710 08;
  • 15) 0,709 631 701 071 183 329 313 710 08 × 2 = 1 + 0,419 263 402 142 366 658 627 420 16;
  • 16) 0,419 263 402 142 366 658 627 420 16 × 2 = 0 + 0,838 526 804 284 733 317 254 840 32;
  • 17) 0,838 526 804 284 733 317 254 840 32 × 2 = 1 + 0,677 053 608 569 466 634 509 680 64;
  • 18) 0,677 053 608 569 466 634 509 680 64 × 2 = 1 + 0,354 107 217 138 933 269 019 361 28;
  • 19) 0,354 107 217 138 933 269 019 361 28 × 2 = 0 + 0,708 214 434 277 866 538 038 722 56;
  • 20) 0,708 214 434 277 866 538 038 722 56 × 2 = 1 + 0,416 428 868 555 733 076 077 445 12;
  • 21) 0,416 428 868 555 733 076 077 445 12 × 2 = 0 + 0,832 857 737 111 466 152 154 890 24;
  • 22) 0,832 857 737 111 466 152 154 890 24 × 2 = 1 + 0,665 715 474 222 932 304 309 780 48;
  • 23) 0,665 715 474 222 932 304 309 780 48 × 2 = 1 + 0,331 430 948 445 864 608 619 560 96;
  • 24) 0,331 430 948 445 864 608 619 560 96 × 2 = 0 + 0,662 861 896 891 729 217 239 121 92;
  • 25) 0,662 861 896 891 729 217 239 121 92 × 2 = 1 + 0,325 723 793 783 458 434 478 243 84;
  • 26) 0,325 723 793 783 458 434 478 243 84 × 2 = 0 + 0,651 447 587 566 916 868 956 487 68;
  • 27) 0,651 447 587 566 916 868 956 487 68 × 2 = 1 + 0,302 895 175 133 833 737 912 975 36;
  • 28) 0,302 895 175 133 833 737 912 975 36 × 2 = 0 + 0,605 790 350 267 667 475 825 950 72;
  • 29) 0,605 790 350 267 667 475 825 950 72 × 2 = 1 + 0,211 580 700 535 334 951 651 901 44;
  • 30) 0,211 580 700 535 334 951 651 901 44 × 2 = 0 + 0,423 161 401 070 669 903 303 802 88;
  • 31) 0,423 161 401 070 669 903 303 802 88 × 2 = 0 + 0,846 322 802 141 339 806 607 605 76;
  • 32) 0,846 322 802 141 339 806 607 605 76 × 2 = 1 + 0,692 645 604 282 679 613 215 211 52;
  • 33) 0,692 645 604 282 679 613 215 211 52 × 2 = 1 + 0,385 291 208 565 359 226 430 423 04;
  • 34) 0,385 291 208 565 359 226 430 423 04 × 2 = 0 + 0,770 582 417 130 718 452 860 846 08;
  • 35) 0,770 582 417 130 718 452 860 846 08 × 2 = 1 + 0,541 164 834 261 436 905 721 692 16;
  • 36) 0,541 164 834 261 436 905 721 692 16 × 2 = 1 + 0,082 329 668 522 873 811 443 384 32;
  • 37) 0,082 329 668 522 873 811 443 384 32 × 2 = 0 + 0,164 659 337 045 747 622 886 768 64;
  • 38) 0,164 659 337 045 747 622 886 768 64 × 2 = 0 + 0,329 318 674 091 495 245 773 537 28;
  • 39) 0,329 318 674 091 495 245 773 537 28 × 2 = 0 + 0,658 637 348 182 990 491 547 074 56;
  • 40) 0,658 637 348 182 990 491 547 074 56 × 2 = 1 + 0,317 274 696 365 980 983 094 149 12;
  • 41) 0,317 274 696 365 980 983 094 149 12 × 2 = 0 + 0,634 549 392 731 961 966 188 298 24;
  • 42) 0,634 549 392 731 961 966 188 298 24 × 2 = 1 + 0,269 098 785 463 923 932 376 596 48;
  • 43) 0,269 098 785 463 923 932 376 596 48 × 2 = 0 + 0,538 197 570 927 847 864 753 192 96;
  • 44) 0,538 197 570 927 847 864 753 192 96 × 2 = 1 + 0,076 395 141 855 695 729 506 385 92;
  • 45) 0,076 395 141 855 695 729 506 385 92 × 2 = 0 + 0,152 790 283 711 391 459 012 771 84;
  • 46) 0,152 790 283 711 391 459 012 771 84 × 2 = 0 + 0,305 580 567 422 782 918 025 543 68;
  • 47) 0,305 580 567 422 782 918 025 543 68 × 2 = 0 + 0,611 161 134 845 565 836 051 087 36;
  • 48) 0,611 161 134 845 565 836 051 087 36 × 2 = 1 + 0,222 322 269 691 131 672 102 174 72;
  • 49) 0,222 322 269 691 131 672 102 174 72 × 2 = 0 + 0,444 644 539 382 263 344 204 349 44;
  • 50) 0,444 644 539 382 263 344 204 349 44 × 2 = 0 + 0,889 289 078 764 526 688 408 698 88;
  • 51) 0,889 289 078 764 526 688 408 698 88 × 2 = 1 + 0,778 578 157 529 053 376 817 397 76;
  • 52) 0,778 578 157 529 053 376 817 397 76 × 2 = 1 + 0,557 156 315 058 106 753 634 795 52;
  • 53) 0,557 156 315 058 106 753 634 795 52 × 2 = 1 + 0,114 312 630 116 213 507 269 591 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5(10) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5(10) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5(10) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2) =

0,1010 0101 1111 1110 1101 0110 1010 1001 1011 0001 0101 0001 0011 1(2) × 20 =

1,0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111 =

0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111


Numărul zecimal 0,648 419 777 325 504 832 966 877 057 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 0100 1011 1111 1101 1010 1101 0101 0011 0110 0010 1010 0010 0111

» Scriere 0,648 419 777 325 504 832 966 877 062 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100