0,803 500 354 290 023 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,803 500 354 290 023 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,803 500 354 290 023 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,803 500 354 290 023 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,803 500 354 290 023 7 × 2 = 1 + 0,607 000 708 580 047 4;
  • 2) 0,607 000 708 580 047 4 × 2 = 1 + 0,214 001 417 160 094 8;
  • 3) 0,214 001 417 160 094 8 × 2 = 0 + 0,428 002 834 320 189 6;
  • 4) 0,428 002 834 320 189 6 × 2 = 0 + 0,856 005 668 640 379 2;
  • 5) 0,856 005 668 640 379 2 × 2 = 1 + 0,712 011 337 280 758 4;
  • 6) 0,712 011 337 280 758 4 × 2 = 1 + 0,424 022 674 561 516 8;
  • 7) 0,424 022 674 561 516 8 × 2 = 0 + 0,848 045 349 123 033 6;
  • 8) 0,848 045 349 123 033 6 × 2 = 1 + 0,696 090 698 246 067 2;
  • 9) 0,696 090 698 246 067 2 × 2 = 1 + 0,392 181 396 492 134 4;
  • 10) 0,392 181 396 492 134 4 × 2 = 0 + 0,784 362 792 984 268 8;
  • 11) 0,784 362 792 984 268 8 × 2 = 1 + 0,568 725 585 968 537 6;
  • 12) 0,568 725 585 968 537 6 × 2 = 1 + 0,137 451 171 937 075 2;
  • 13) 0,137 451 171 937 075 2 × 2 = 0 + 0,274 902 343 874 150 4;
  • 14) 0,274 902 343 874 150 4 × 2 = 0 + 0,549 804 687 748 300 8;
  • 15) 0,549 804 687 748 300 8 × 2 = 1 + 0,099 609 375 496 601 6;
  • 16) 0,099 609 375 496 601 6 × 2 = 0 + 0,199 218 750 993 203 2;
  • 17) 0,199 218 750 993 203 2 × 2 = 0 + 0,398 437 501 986 406 4;
  • 18) 0,398 437 501 986 406 4 × 2 = 0 + 0,796 875 003 972 812 8;
  • 19) 0,796 875 003 972 812 8 × 2 = 1 + 0,593 750 007 945 625 6;
  • 20) 0,593 750 007 945 625 6 × 2 = 1 + 0,187 500 015 891 251 2;
  • 21) 0,187 500 015 891 251 2 × 2 = 0 + 0,375 000 031 782 502 4;
  • 22) 0,375 000 031 782 502 4 × 2 = 0 + 0,750 000 063 565 004 8;
  • 23) 0,750 000 063 565 004 8 × 2 = 1 + 0,500 000 127 130 009 6;
  • 24) 0,500 000 127 130 009 6 × 2 = 1 + 0,000 000 254 260 019 2;
  • 25) 0,000 000 254 260 019 2 × 2 = 0 + 0,000 000 508 520 038 4;
  • 26) 0,000 000 508 520 038 4 × 2 = 0 + 0,000 001 017 040 076 8;
  • 27) 0,000 001 017 040 076 8 × 2 = 0 + 0,000 002 034 080 153 6;
  • 28) 0,000 002 034 080 153 6 × 2 = 0 + 0,000 004 068 160 307 2;
  • 29) 0,000 004 068 160 307 2 × 2 = 0 + 0,000 008 136 320 614 4;
  • 30) 0,000 008 136 320 614 4 × 2 = 0 + 0,000 016 272 641 228 8;
  • 31) 0,000 016 272 641 228 8 × 2 = 0 + 0,000 032 545 282 457 6;
  • 32) 0,000 032 545 282 457 6 × 2 = 0 + 0,000 065 090 564 915 2;
  • 33) 0,000 065 090 564 915 2 × 2 = 0 + 0,000 130 181 129 830 4;
  • 34) 0,000 130 181 129 830 4 × 2 = 0 + 0,000 260 362 259 660 8;
  • 35) 0,000 260 362 259 660 8 × 2 = 0 + 0,000 520 724 519 321 6;
  • 36) 0,000 520 724 519 321 6 × 2 = 0 + 0,001 041 449 038 643 2;
  • 37) 0,001 041 449 038 643 2 × 2 = 0 + 0,002 082 898 077 286 4;
  • 38) 0,002 082 898 077 286 4 × 2 = 0 + 0,004 165 796 154 572 8;
  • 39) 0,004 165 796 154 572 8 × 2 = 0 + 0,008 331 592 309 145 6;
  • 40) 0,008 331 592 309 145 6 × 2 = 0 + 0,016 663 184 618 291 2;
  • 41) 0,016 663 184 618 291 2 × 2 = 0 + 0,033 326 369 236 582 4;
  • 42) 0,033 326 369 236 582 4 × 2 = 0 + 0,066 652 738 473 164 8;
  • 43) 0,066 652 738 473 164 8 × 2 = 0 + 0,133 305 476 946 329 6;
  • 44) 0,133 305 476 946 329 6 × 2 = 0 + 0,266 610 953 892 659 2;
  • 45) 0,266 610 953 892 659 2 × 2 = 0 + 0,533 221 907 785 318 4;
  • 46) 0,533 221 907 785 318 4 × 2 = 1 + 0,066 443 815 570 636 8;
  • 47) 0,066 443 815 570 636 8 × 2 = 0 + 0,132 887 631 141 273 6;
  • 48) 0,132 887 631 141 273 6 × 2 = 0 + 0,265 775 262 282 547 2;
  • 49) 0,265 775 262 282 547 2 × 2 = 0 + 0,531 550 524 565 094 4;
  • 50) 0,531 550 524 565 094 4 × 2 = 1 + 0,063 101 049 130 188 8;
  • 51) 0,063 101 049 130 188 8 × 2 = 0 + 0,126 202 098 260 377 6;
  • 52) 0,126 202 098 260 377 6 × 2 = 0 + 0,252 404 196 520 755 2;
  • 53) 0,252 404 196 520 755 2 × 2 = 0 + 0,504 808 393 041 510 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,803 500 354 290 023 7(10) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,803 500 354 290 023 7(10) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,803 500 354 290 023 7(10) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100 0(2) =

0,1100 1101 1011 0010 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100 0(2) × 20 =

1,1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1000(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1000 =

1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1000


Numărul zecimal 0,803 500 354 290 023 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1001 1011 0110 0100 0110 0110 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1000

Distribuie

» Scriere 0,803 500 354 290 030 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100