0,957 603 280 698 573 651 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,957 603 280 698 573 651(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,957 603 280 698 573 651(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,957 603 280 698 573 651.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,957 603 280 698 573 651 × 2 = 1 + 0,915 206 561 397 147 302;
  • 2) 0,915 206 561 397 147 302 × 2 = 1 + 0,830 413 122 794 294 604;
  • 3) 0,830 413 122 794 294 604 × 2 = 1 + 0,660 826 245 588 589 208;
  • 4) 0,660 826 245 588 589 208 × 2 = 1 + 0,321 652 491 177 178 416;
  • 5) 0,321 652 491 177 178 416 × 2 = 0 + 0,643 304 982 354 356 832;
  • 6) 0,643 304 982 354 356 832 × 2 = 1 + 0,286 609 964 708 713 664;
  • 7) 0,286 609 964 708 713 664 × 2 = 0 + 0,573 219 929 417 427 328;
  • 8) 0,573 219 929 417 427 328 × 2 = 1 + 0,146 439 858 834 854 656;
  • 9) 0,146 439 858 834 854 656 × 2 = 0 + 0,292 879 717 669 709 312;
  • 10) 0,292 879 717 669 709 312 × 2 = 0 + 0,585 759 435 339 418 624;
  • 11) 0,585 759 435 339 418 624 × 2 = 1 + 0,171 518 870 678 837 248;
  • 12) 0,171 518 870 678 837 248 × 2 = 0 + 0,343 037 741 357 674 496;
  • 13) 0,343 037 741 357 674 496 × 2 = 0 + 0,686 075 482 715 348 992;
  • 14) 0,686 075 482 715 348 992 × 2 = 1 + 0,372 150 965 430 697 984;
  • 15) 0,372 150 965 430 697 984 × 2 = 0 + 0,744 301 930 861 395 968;
  • 16) 0,744 301 930 861 395 968 × 2 = 1 + 0,488 603 861 722 791 936;
  • 17) 0,488 603 861 722 791 936 × 2 = 0 + 0,977 207 723 445 583 872;
  • 18) 0,977 207 723 445 583 872 × 2 = 1 + 0,954 415 446 891 167 744;
  • 19) 0,954 415 446 891 167 744 × 2 = 1 + 0,908 830 893 782 335 488;
  • 20) 0,908 830 893 782 335 488 × 2 = 1 + 0,817 661 787 564 670 976;
  • 21) 0,817 661 787 564 670 976 × 2 = 1 + 0,635 323 575 129 341 952;
  • 22) 0,635 323 575 129 341 952 × 2 = 1 + 0,270 647 150 258 683 904;
  • 23) 0,270 647 150 258 683 904 × 2 = 0 + 0,541 294 300 517 367 808;
  • 24) 0,541 294 300 517 367 808 × 2 = 1 + 0,082 588 601 034 735 616;
  • 25) 0,082 588 601 034 735 616 × 2 = 0 + 0,165 177 202 069 471 232;
  • 26) 0,165 177 202 069 471 232 × 2 = 0 + 0,330 354 404 138 942 464;
  • 27) 0,330 354 404 138 942 464 × 2 = 0 + 0,660 708 808 277 884 928;
  • 28) 0,660 708 808 277 884 928 × 2 = 1 + 0,321 417 616 555 769 856;
  • 29) 0,321 417 616 555 769 856 × 2 = 0 + 0,642 835 233 111 539 712;
  • 30) 0,642 835 233 111 539 712 × 2 = 1 + 0,285 670 466 223 079 424;
  • 31) 0,285 670 466 223 079 424 × 2 = 0 + 0,571 340 932 446 158 848;
  • 32) 0,571 340 932 446 158 848 × 2 = 1 + 0,142 681 864 892 317 696;
  • 33) 0,142 681 864 892 317 696 × 2 = 0 + 0,285 363 729 784 635 392;
  • 34) 0,285 363 729 784 635 392 × 2 = 0 + 0,570 727 459 569 270 784;
  • 35) 0,570 727 459 569 270 784 × 2 = 1 + 0,141 454 919 138 541 568;
  • 36) 0,141 454 919 138 541 568 × 2 = 0 + 0,282 909 838 277 083 136;
  • 37) 0,282 909 838 277 083 136 × 2 = 0 + 0,565 819 676 554 166 272;
  • 38) 0,565 819 676 554 166 272 × 2 = 1 + 0,131 639 353 108 332 544;
  • 39) 0,131 639 353 108 332 544 × 2 = 0 + 0,263 278 706 216 665 088;
  • 40) 0,263 278 706 216 665 088 × 2 = 0 + 0,526 557 412 433 330 176;
  • 41) 0,526 557 412 433 330 176 × 2 = 1 + 0,053 114 824 866 660 352;
  • 42) 0,053 114 824 866 660 352 × 2 = 0 + 0,106 229 649 733 320 704;
  • 43) 0,106 229 649 733 320 704 × 2 = 0 + 0,212 459 299 466 641 408;
  • 44) 0,212 459 299 466 641 408 × 2 = 0 + 0,424 918 598 933 282 816;
  • 45) 0,424 918 598 933 282 816 × 2 = 0 + 0,849 837 197 866 565 632;
  • 46) 0,849 837 197 866 565 632 × 2 = 1 + 0,699 674 395 733 131 264;
  • 47) 0,699 674 395 733 131 264 × 2 = 1 + 0,399 348 791 466 262 528;
  • 48) 0,399 348 791 466 262 528 × 2 = 0 + 0,798 697 582 932 525 056;
  • 49) 0,798 697 582 932 525 056 × 2 = 1 + 0,597 395 165 865 050 112;
  • 50) 0,597 395 165 865 050 112 × 2 = 1 + 0,194 790 331 730 100 224;
  • 51) 0,194 790 331 730 100 224 × 2 = 0 + 0,389 580 663 460 200 448;
  • 52) 0,389 580 663 460 200 448 × 2 = 0 + 0,779 161 326 920 400 896;
  • 53) 0,779 161 326 920 400 896 × 2 = 1 + 0,558 322 653 840 801 792;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,957 603 280 698 573 651(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,957 603 280 698 573 651(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,957 603 280 698 573 651(10) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2) =

0,1111 0101 0010 0101 0111 1101 0001 0101 0010 0100 1000 0110 1100 1(2) × 20 =

1,1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001 =

1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001


Numărul zecimal 0,957 603 280 698 573 651 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1110 1010 0100 1010 1111 1010 0010 1010 0100 1001 0000 1101 1001

» Scriere 0,957 603 280 698 573 57 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100