1,370 000 000 000 000 106 812 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,370 000 000 000 000 106 812(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,370 000 000 000 000 106 812(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,370 000 000 000 000 106 812.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,370 000 000 000 000 106 812 × 2 = 0 + 0,740 000 000 000 000 213 624;
  • 2) 0,740 000 000 000 000 213 624 × 2 = 1 + 0,480 000 000 000 000 427 248;
  • 3) 0,480 000 000 000 000 427 248 × 2 = 0 + 0,960 000 000 000 000 854 496;
  • 4) 0,960 000 000 000 000 854 496 × 2 = 1 + 0,920 000 000 000 001 708 992;
  • 5) 0,920 000 000 000 001 708 992 × 2 = 1 + 0,840 000 000 000 003 417 984;
  • 6) 0,840 000 000 000 003 417 984 × 2 = 1 + 0,680 000 000 000 006 835 968;
  • 7) 0,680 000 000 000 006 835 968 × 2 = 1 + 0,360 000 000 000 013 671 936;
  • 8) 0,360 000 000 000 013 671 936 × 2 = 0 + 0,720 000 000 000 027 343 872;
  • 9) 0,720 000 000 000 027 343 872 × 2 = 1 + 0,440 000 000 000 054 687 744;
  • 10) 0,440 000 000 000 054 687 744 × 2 = 0 + 0,880 000 000 000 109 375 488;
  • 11) 0,880 000 000 000 109 375 488 × 2 = 1 + 0,760 000 000 000 218 750 976;
  • 12) 0,760 000 000 000 218 750 976 × 2 = 1 + 0,520 000 000 000 437 501 952;
  • 13) 0,520 000 000 000 437 501 952 × 2 = 1 + 0,040 000 000 000 875 003 904;
  • 14) 0,040 000 000 000 875 003 904 × 2 = 0 + 0,080 000 000 001 750 007 808;
  • 15) 0,080 000 000 001 750 007 808 × 2 = 0 + 0,160 000 000 003 500 015 616;
  • 16) 0,160 000 000 003 500 015 616 × 2 = 0 + 0,320 000 000 007 000 031 232;
  • 17) 0,320 000 000 007 000 031 232 × 2 = 0 + 0,640 000 000 014 000 062 464;
  • 18) 0,640 000 000 014 000 062 464 × 2 = 1 + 0,280 000 000 028 000 124 928;
  • 19) 0,280 000 000 028 000 124 928 × 2 = 0 + 0,560 000 000 056 000 249 856;
  • 20) 0,560 000 000 056 000 249 856 × 2 = 1 + 0,120 000 000 112 000 499 712;
  • 21) 0,120 000 000 112 000 499 712 × 2 = 0 + 0,240 000 000 224 000 999 424;
  • 22) 0,240 000 000 224 000 999 424 × 2 = 0 + 0,480 000 000 448 001 998 848;
  • 23) 0,480 000 000 448 001 998 848 × 2 = 0 + 0,960 000 000 896 003 997 696;
  • 24) 0,960 000 000 896 003 997 696 × 2 = 1 + 0,920 000 001 792 007 995 392;
  • 25) 0,920 000 001 792 007 995 392 × 2 = 1 + 0,840 000 003 584 015 990 784;
  • 26) 0,840 000 003 584 015 990 784 × 2 = 1 + 0,680 000 007 168 031 981 568;
  • 27) 0,680 000 007 168 031 981 568 × 2 = 1 + 0,360 000 014 336 063 963 136;
  • 28) 0,360 000 014 336 063 963 136 × 2 = 0 + 0,720 000 028 672 127 926 272;
  • 29) 0,720 000 028 672 127 926 272 × 2 = 1 + 0,440 000 057 344 255 852 544;
  • 30) 0,440 000 057 344 255 852 544 × 2 = 0 + 0,880 000 114 688 511 705 088;
  • 31) 0,880 000 114 688 511 705 088 × 2 = 1 + 0,760 000 229 377 023 410 176;
  • 32) 0,760 000 229 377 023 410 176 × 2 = 1 + 0,520 000 458 754 046 820 352;
  • 33) 0,520 000 458 754 046 820 352 × 2 = 1 + 0,040 000 917 508 093 640 704;
  • 34) 0,040 000 917 508 093 640 704 × 2 = 0 + 0,080 001 835 016 187 281 408;
  • 35) 0,080 001 835 016 187 281 408 × 2 = 0 + 0,160 003 670 032 374 562 816;
  • 36) 0,160 003 670 032 374 562 816 × 2 = 0 + 0,320 007 340 064 749 125 632;
  • 37) 0,320 007 340 064 749 125 632 × 2 = 0 + 0,640 014 680 129 498 251 264;
  • 38) 0,640 014 680 129 498 251 264 × 2 = 1 + 0,280 029 360 258 996 502 528;
  • 39) 0,280 029 360 258 996 502 528 × 2 = 0 + 0,560 058 720 517 993 005 056;
  • 40) 0,560 058 720 517 993 005 056 × 2 = 1 + 0,120 117 441 035 986 010 112;
  • 41) 0,120 117 441 035 986 010 112 × 2 = 0 + 0,240 234 882 071 972 020 224;
  • 42) 0,240 234 882 071 972 020 224 × 2 = 0 + 0,480 469 764 143 944 040 448;
  • 43) 0,480 469 764 143 944 040 448 × 2 = 0 + 0,960 939 528 287 888 080 896;
  • 44) 0,960 939 528 287 888 080 896 × 2 = 1 + 0,921 879 056 575 776 161 792;
  • 45) 0,921 879 056 575 776 161 792 × 2 = 1 + 0,843 758 113 151 552 323 584;
  • 46) 0,843 758 113 151 552 323 584 × 2 = 1 + 0,687 516 226 303 104 647 168;
  • 47) 0,687 516 226 303 104 647 168 × 2 = 1 + 0,375 032 452 606 209 294 336;
  • 48) 0,375 032 452 606 209 294 336 × 2 = 0 + 0,750 064 905 212 418 588 672;
  • 49) 0,750 064 905 212 418 588 672 × 2 = 1 + 0,500 129 810 424 837 177 344;
  • 50) 0,500 129 810 424 837 177 344 × 2 = 1 + 0,000 259 620 849 674 354 688;
  • 51) 0,000 259 620 849 674 354 688 × 2 = 0 + 0,000 519 241 699 348 709 376;
  • 52) 0,000 519 241 699 348 709 376 × 2 = 0 + 0,001 038 483 398 697 418 752;
  • 53) 0,001 038 483 398 697 418 752 × 2 = 0 + 0,002 076 966 797 394 837 504;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,370 000 000 000 000 106 812(10) =

0,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,370 000 000 000 000 106 812(10) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,370 000 000 000 000 106 812(10) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2) =

1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100 0 =

0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100


Numărul zecimal 1,370 000 000 000 000 106 812 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0101 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1100

» Scriere 1,370 000 000 000 000 106 837 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100