1,570 796 326 794 896 619 231 322 24 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,570 796 326 794 896 619 231 322 24(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,570 796 326 794 896 619 231 322 24(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,570 796 326 794 896 619 231 322 24.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,570 796 326 794 896 619 231 322 24 × 2 = 1 + 0,141 592 653 589 793 238 462 644 48;
  • 2) 0,141 592 653 589 793 238 462 644 48 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 476 925 288 96;
  • 3) 0,283 185 307 179 586 476 925 288 96 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 953 850 577 92;
  • 4) 0,566 370 614 359 172 953 850 577 92 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 345 907 701 155 84;
  • 5) 0,132 741 228 718 345 907 701 155 84 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 691 815 402 311 68;
  • 6) 0,265 482 457 436 691 815 402 311 68 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 383 630 804 623 36;
  • 7) 0,530 964 914 873 383 630 804 623 36 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 767 261 609 246 72;
  • 8) 0,061 929 829 746 767 261 609 246 72 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 534 523 218 493 44;
  • 9) 0,123 859 659 493 534 523 218 493 44 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 069 046 436 986 88;
  • 10) 0,247 719 318 987 069 046 436 986 88 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 138 092 873 973 76;
  • 11) 0,495 438 637 974 138 092 873 973 76 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 276 185 747 947 52;
  • 12) 0,990 877 275 948 276 185 747 947 52 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 552 371 495 895 04;
  • 13) 0,981 754 551 896 552 371 495 895 04 × 2 = 1 + 0,963 509 103 793 104 742 991 790 08;
  • 14) 0,963 509 103 793 104 742 991 790 08 × 2 = 1 + 0,927 018 207 586 209 485 983 580 16;
  • 15) 0,927 018 207 586 209 485 983 580 16 × 2 = 1 + 0,854 036 415 172 418 971 967 160 32;
  • 16) 0,854 036 415 172 418 971 967 160 32 × 2 = 1 + 0,708 072 830 344 837 943 934 320 64;
  • 17) 0,708 072 830 344 837 943 934 320 64 × 2 = 1 + 0,416 145 660 689 675 887 868 641 28;
  • 18) 0,416 145 660 689 675 887 868 641 28 × 2 = 0 + 0,832 291 321 379 351 775 737 282 56;
  • 19) 0,832 291 321 379 351 775 737 282 56 × 2 = 1 + 0,664 582 642 758 703 551 474 565 12;
  • 20) 0,664 582 642 758 703 551 474 565 12 × 2 = 1 + 0,329 165 285 517 407 102 949 130 24;
  • 21) 0,329 165 285 517 407 102 949 130 24 × 2 = 0 + 0,658 330 571 034 814 205 898 260 48;
  • 22) 0,658 330 571 034 814 205 898 260 48 × 2 = 1 + 0,316 661 142 069 628 411 796 520 96;
  • 23) 0,316 661 142 069 628 411 796 520 96 × 2 = 0 + 0,633 322 284 139 256 823 593 041 92;
  • 24) 0,633 322 284 139 256 823 593 041 92 × 2 = 1 + 0,266 644 568 278 513 647 186 083 84;
  • 25) 0,266 644 568 278 513 647 186 083 84 × 2 = 0 + 0,533 289 136 557 027 294 372 167 68;
  • 26) 0,533 289 136 557 027 294 372 167 68 × 2 = 1 + 0,066 578 273 114 054 588 744 335 36;
  • 27) 0,066 578 273 114 054 588 744 335 36 × 2 = 0 + 0,133 156 546 228 109 177 488 670 72;
  • 28) 0,133 156 546 228 109 177 488 670 72 × 2 = 0 + 0,266 313 092 456 218 354 977 341 44;
  • 29) 0,266 313 092 456 218 354 977 341 44 × 2 = 0 + 0,532 626 184 912 436 709 954 682 88;
  • 30) 0,532 626 184 912 436 709 954 682 88 × 2 = 1 + 0,065 252 369 824 873 419 909 365 76;
  • 31) 0,065 252 369 824 873 419 909 365 76 × 2 = 0 + 0,130 504 739 649 746 839 818 731 52;
  • 32) 0,130 504 739 649 746 839 818 731 52 × 2 = 0 + 0,261 009 479 299 493 679 637 463 04;
  • 33) 0,261 009 479 299 493 679 637 463 04 × 2 = 0 + 0,522 018 958 598 987 359 274 926 08;
  • 34) 0,522 018 958 598 987 359 274 926 08 × 2 = 1 + 0,044 037 917 197 974 718 549 852 16;
  • 35) 0,044 037 917 197 974 718 549 852 16 × 2 = 0 + 0,088 075 834 395 949 437 099 704 32;
  • 36) 0,088 075 834 395 949 437 099 704 32 × 2 = 0 + 0,176 151 668 791 898 874 199 408 64;
  • 37) 0,176 151 668 791 898 874 199 408 64 × 2 = 0 + 0,352 303 337 583 797 748 398 817 28;
  • 38) 0,352 303 337 583 797 748 398 817 28 × 2 = 0 + 0,704 606 675 167 595 496 797 634 56;
  • 39) 0,704 606 675 167 595 496 797 634 56 × 2 = 1 + 0,409 213 350 335 190 993 595 269 12;
  • 40) 0,409 213 350 335 190 993 595 269 12 × 2 = 0 + 0,818 426 700 670 381 987 190 538 24;
  • 41) 0,818 426 700 670 381 987 190 538 24 × 2 = 1 + 0,636 853 401 340 763 974 381 076 48;
  • 42) 0,636 853 401 340 763 974 381 076 48 × 2 = 1 + 0,273 706 802 681 527 948 762 152 96;
  • 43) 0,273 706 802 681 527 948 762 152 96 × 2 = 0 + 0,547 413 605 363 055 897 524 305 92;
  • 44) 0,547 413 605 363 055 897 524 305 92 × 2 = 1 + 0,094 827 210 726 111 795 048 611 84;
  • 45) 0,094 827 210 726 111 795 048 611 84 × 2 = 0 + 0,189 654 421 452 223 590 097 223 68;
  • 46) 0,189 654 421 452 223 590 097 223 68 × 2 = 0 + 0,379 308 842 904 447 180 194 447 36;
  • 47) 0,379 308 842 904 447 180 194 447 36 × 2 = 0 + 0,758 617 685 808 894 360 388 894 72;
  • 48) 0,758 617 685 808 894 360 388 894 72 × 2 = 1 + 0,517 235 371 617 788 720 777 789 44;
  • 49) 0,517 235 371 617 788 720 777 789 44 × 2 = 1 + 0,034 470 743 235 577 441 555 578 88;
  • 50) 0,034 470 743 235 577 441 555 578 88 × 2 = 0 + 0,068 941 486 471 154 883 111 157 76;
  • 51) 0,068 941 486 471 154 883 111 157 76 × 2 = 0 + 0,137 882 972 942 309 766 222 315 52;
  • 52) 0,137 882 972 942 309 766 222 315 52 × 2 = 0 + 0,275 765 945 884 619 532 444 631 04;
  • 53) 0,275 765 945 884 619 532 444 631 04 × 2 = 0 + 0,551 531 891 769 239 064 889 262 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,570 796 326 794 896 619 231 322 24(10) =

0,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,570 796 326 794 896 619 231 322 24(10) =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,570 796 326 794 896 619 231 322 24(10) =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2) =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 0 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 1,570 796 326 794 896 619 231 322 24 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

» Scriere 1,570 796 326 794 896 619 231 321 37 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100