1,718 281 828 459 044 92 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,718 281 828 459 044 92(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,718 281 828 459 044 92(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,718 281 828 459 044 92.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,718 281 828 459 044 92 × 2 = 1 + 0,436 563 656 918 089 84;
  • 2) 0,436 563 656 918 089 84 × 2 = 0 + 0,873 127 313 836 179 68;
  • 3) 0,873 127 313 836 179 68 × 2 = 1 + 0,746 254 627 672 359 36;
  • 4) 0,746 254 627 672 359 36 × 2 = 1 + 0,492 509 255 344 718 72;
  • 5) 0,492 509 255 344 718 72 × 2 = 0 + 0,985 018 510 689 437 44;
  • 6) 0,985 018 510 689 437 44 × 2 = 1 + 0,970 037 021 378 874 88;
  • 7) 0,970 037 021 378 874 88 × 2 = 1 + 0,940 074 042 757 749 76;
  • 8) 0,940 074 042 757 749 76 × 2 = 1 + 0,880 148 085 515 499 52;
  • 9) 0,880 148 085 515 499 52 × 2 = 1 + 0,760 296 171 030 999 04;
  • 10) 0,760 296 171 030 999 04 × 2 = 1 + 0,520 592 342 061 998 08;
  • 11) 0,520 592 342 061 998 08 × 2 = 1 + 0,041 184 684 123 996 16;
  • 12) 0,041 184 684 123 996 16 × 2 = 0 + 0,082 369 368 247 992 32;
  • 13) 0,082 369 368 247 992 32 × 2 = 0 + 0,164 738 736 495 984 64;
  • 14) 0,164 738 736 495 984 64 × 2 = 0 + 0,329 477 472 991 969 28;
  • 15) 0,329 477 472 991 969 28 × 2 = 0 + 0,658 954 945 983 938 56;
  • 16) 0,658 954 945 983 938 56 × 2 = 1 + 0,317 909 891 967 877 12;
  • 17) 0,317 909 891 967 877 12 × 2 = 0 + 0,635 819 783 935 754 24;
  • 18) 0,635 819 783 935 754 24 × 2 = 1 + 0,271 639 567 871 508 48;
  • 19) 0,271 639 567 871 508 48 × 2 = 0 + 0,543 279 135 743 016 96;
  • 20) 0,543 279 135 743 016 96 × 2 = 1 + 0,086 558 271 486 033 92;
  • 21) 0,086 558 271 486 033 92 × 2 = 0 + 0,173 116 542 972 067 84;
  • 22) 0,173 116 542 972 067 84 × 2 = 0 + 0,346 233 085 944 135 68;
  • 23) 0,346 233 085 944 135 68 × 2 = 0 + 0,692 466 171 888 271 36;
  • 24) 0,692 466 171 888 271 36 × 2 = 1 + 0,384 932 343 776 542 72;
  • 25) 0,384 932 343 776 542 72 × 2 = 0 + 0,769 864 687 553 085 44;
  • 26) 0,769 864 687 553 085 44 × 2 = 1 + 0,539 729 375 106 170 88;
  • 27) 0,539 729 375 106 170 88 × 2 = 1 + 0,079 458 750 212 341 76;
  • 28) 0,079 458 750 212 341 76 × 2 = 0 + 0,158 917 500 424 683 52;
  • 29) 0,158 917 500 424 683 52 × 2 = 0 + 0,317 835 000 849 367 04;
  • 30) 0,317 835 000 849 367 04 × 2 = 0 + 0,635 670 001 698 734 08;
  • 31) 0,635 670 001 698 734 08 × 2 = 1 + 0,271 340 003 397 468 16;
  • 32) 0,271 340 003 397 468 16 × 2 = 0 + 0,542 680 006 794 936 32;
  • 33) 0,542 680 006 794 936 32 × 2 = 1 + 0,085 360 013 589 872 64;
  • 34) 0,085 360 013 589 872 64 × 2 = 0 + 0,170 720 027 179 745 28;
  • 35) 0,170 720 027 179 745 28 × 2 = 0 + 0,341 440 054 359 490 56;
  • 36) 0,341 440 054 359 490 56 × 2 = 0 + 0,682 880 108 718 981 12;
  • 37) 0,682 880 108 718 981 12 × 2 = 1 + 0,365 760 217 437 962 24;
  • 38) 0,365 760 217 437 962 24 × 2 = 0 + 0,731 520 434 875 924 48;
  • 39) 0,731 520 434 875 924 48 × 2 = 1 + 0,463 040 869 751 848 96;
  • 40) 0,463 040 869 751 848 96 × 2 = 0 + 0,926 081 739 503 697 92;
  • 41) 0,926 081 739 503 697 92 × 2 = 1 + 0,852 163 479 007 395 84;
  • 42) 0,852 163 479 007 395 84 × 2 = 1 + 0,704 326 958 014 791 68;
  • 43) 0,704 326 958 014 791 68 × 2 = 1 + 0,408 653 916 029 583 36;
  • 44) 0,408 653 916 029 583 36 × 2 = 0 + 0,817 307 832 059 166 72;
  • 45) 0,817 307 832 059 166 72 × 2 = 1 + 0,634 615 664 118 333 44;
  • 46) 0,634 615 664 118 333 44 × 2 = 1 + 0,269 231 328 236 666 88;
  • 47) 0,269 231 328 236 666 88 × 2 = 0 + 0,538 462 656 473 333 76;
  • 48) 0,538 462 656 473 333 76 × 2 = 1 + 0,076 925 312 946 667 52;
  • 49) 0,076 925 312 946 667 52 × 2 = 0 + 0,153 850 625 893 335 04;
  • 50) 0,153 850 625 893 335 04 × 2 = 0 + 0,307 701 251 786 670 08;
  • 51) 0,307 701 251 786 670 08 × 2 = 0 + 0,615 402 503 573 340 16;
  • 52) 0,615 402 503 573 340 16 × 2 = 1 + 0,230 805 007 146 680 32;
  • 53) 0,230 805 007 146 680 32 × 2 = 0 + 0,461 610 014 293 360 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,718 281 828 459 044 92(10) =

0,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,718 281 828 459 044 92(10) =

1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,718 281 828 459 044 92(10) =

1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001 0(2) =

1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001 0 =

1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001


Numărul zecimal 1,718 281 828 459 044 92 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0001

Distribuie

» Scriere 1,718 281 828 459 044 52 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100