2,714 285 714 285 714 508 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,714 285 714 285 714 508(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,714 285 714 285 714 508(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,714 285 714 285 714 508.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,714 285 714 285 714 508 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 429 016;
  • 2) 0,428 571 428 571 429 016 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 858 032;
  • 3) 0,857 142 857 142 858 032 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 716 064;
  • 4) 0,714 285 714 285 716 064 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 432 128;
  • 5) 0,428 571 428 571 432 128 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 864 256;
  • 6) 0,857 142 857 142 864 256 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 728 512;
  • 7) 0,714 285 714 285 728 512 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 457 024;
  • 8) 0,428 571 428 571 457 024 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 914 048;
  • 9) 0,857 142 857 142 914 048 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 828 096;
  • 10) 0,714 285 714 285 828 096 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 656 192;
  • 11) 0,428 571 428 571 656 192 × 2 = 0 + 0,857 142 857 143 312 384;
  • 12) 0,857 142 857 143 312 384 × 2 = 1 + 0,714 285 714 286 624 768;
  • 13) 0,714 285 714 286 624 768 × 2 = 1 + 0,428 571 428 573 249 536;
  • 14) 0,428 571 428 573 249 536 × 2 = 0 + 0,857 142 857 146 499 072;
  • 15) 0,857 142 857 146 499 072 × 2 = 1 + 0,714 285 714 292 998 144;
  • 16) 0,714 285 714 292 998 144 × 2 = 1 + 0,428 571 428 585 996 288;
  • 17) 0,428 571 428 585 996 288 × 2 = 0 + 0,857 142 857 171 992 576;
  • 18) 0,857 142 857 171 992 576 × 2 = 1 + 0,714 285 714 343 985 152;
  • 19) 0,714 285 714 343 985 152 × 2 = 1 + 0,428 571 428 687 970 304;
  • 20) 0,428 571 428 687 970 304 × 2 = 0 + 0,857 142 857 375 940 608;
  • 21) 0,857 142 857 375 940 608 × 2 = 1 + 0,714 285 714 751 881 216;
  • 22) 0,714 285 714 751 881 216 × 2 = 1 + 0,428 571 429 503 762 432;
  • 23) 0,428 571 429 503 762 432 × 2 = 0 + 0,857 142 859 007 524 864;
  • 24) 0,857 142 859 007 524 864 × 2 = 1 + 0,714 285 718 015 049 728;
  • 25) 0,714 285 718 015 049 728 × 2 = 1 + 0,428 571 436 030 099 456;
  • 26) 0,428 571 436 030 099 456 × 2 = 0 + 0,857 142 872 060 198 912;
  • 27) 0,857 142 872 060 198 912 × 2 = 1 + 0,714 285 744 120 397 824;
  • 28) 0,714 285 744 120 397 824 × 2 = 1 + 0,428 571 488 240 795 648;
  • 29) 0,428 571 488 240 795 648 × 2 = 0 + 0,857 142 976 481 591 296;
  • 30) 0,857 142 976 481 591 296 × 2 = 1 + 0,714 285 952 963 182 592;
  • 31) 0,714 285 952 963 182 592 × 2 = 1 + 0,428 571 905 926 365 184;
  • 32) 0,428 571 905 926 365 184 × 2 = 0 + 0,857 143 811 852 730 368;
  • 33) 0,857 143 811 852 730 368 × 2 = 1 + 0,714 287 623 705 460 736;
  • 34) 0,714 287 623 705 460 736 × 2 = 1 + 0,428 575 247 410 921 472;
  • 35) 0,428 575 247 410 921 472 × 2 = 0 + 0,857 150 494 821 842 944;
  • 36) 0,857 150 494 821 842 944 × 2 = 1 + 0,714 300 989 643 685 888;
  • 37) 0,714 300 989 643 685 888 × 2 = 1 + 0,428 601 979 287 371 776;
  • 38) 0,428 601 979 287 371 776 × 2 = 0 + 0,857 203 958 574 743 552;
  • 39) 0,857 203 958 574 743 552 × 2 = 1 + 0,714 407 917 149 487 104;
  • 40) 0,714 407 917 149 487 104 × 2 = 1 + 0,428 815 834 298 974 208;
  • 41) 0,428 815 834 298 974 208 × 2 = 0 + 0,857 631 668 597 948 416;
  • 42) 0,857 631 668 597 948 416 × 2 = 1 + 0,715 263 337 195 896 832;
  • 43) 0,715 263 337 195 896 832 × 2 = 1 + 0,430 526 674 391 793 664;
  • 44) 0,430 526 674 391 793 664 × 2 = 0 + 0,861 053 348 783 587 328;
  • 45) 0,861 053 348 783 587 328 × 2 = 1 + 0,722 106 697 567 174 656;
  • 46) 0,722 106 697 567 174 656 × 2 = 1 + 0,444 213 395 134 349 312;
  • 47) 0,444 213 395 134 349 312 × 2 = 0 + 0,888 426 790 268 698 624;
  • 48) 0,888 426 790 268 698 624 × 2 = 1 + 0,776 853 580 537 397 248;
  • 49) 0,776 853 580 537 397 248 × 2 = 1 + 0,553 707 161 074 794 496;
  • 50) 0,553 707 161 074 794 496 × 2 = 1 + 0,107 414 322 149 588 992;
  • 51) 0,107 414 322 149 588 992 × 2 = 0 + 0,214 828 644 299 177 984;
  • 52) 0,214 828 644 299 177 984 × 2 = 0 + 0,429 657 288 598 355 968;
  • 53) 0,429 657 288 598 355 968 × 2 = 0 + 0,859 314 577 196 711 936;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,714 285 714 285 714 508(10) =

0,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,714 285 714 285 714 508(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,714 285 714 285 714 508(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 0(2) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 0(2) × 20 =

1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110 00 =

0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110


Numărul zecimal 2,714 285 714 285 714 508 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110

Distribuie

» Scriere 2,714 285 714 285 714 558 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100