204,120 999 999 999 981 279 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 204,120 999 999 999 981 279(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
204,120 999 999 999 981 279(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 204.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 204 : 2 = 102 + 0;
  • 102 : 2 = 51 + 0;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

204(10) =

1100 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,120 999 999 999 981 279.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,120 999 999 999 981 279 × 2 = 0 + 0,241 999 999 999 962 558;
  • 2) 0,241 999 999 999 962 558 × 2 = 0 + 0,483 999 999 999 925 116;
  • 3) 0,483 999 999 999 925 116 × 2 = 0 + 0,967 999 999 999 850 232;
  • 4) 0,967 999 999 999 850 232 × 2 = 1 + 0,935 999 999 999 700 464;
  • 5) 0,935 999 999 999 700 464 × 2 = 1 + 0,871 999 999 999 400 928;
  • 6) 0,871 999 999 999 400 928 × 2 = 1 + 0,743 999 999 998 801 856;
  • 7) 0,743 999 999 998 801 856 × 2 = 1 + 0,487 999 999 997 603 712;
  • 8) 0,487 999 999 997 603 712 × 2 = 0 + 0,975 999 999 995 207 424;
  • 9) 0,975 999 999 995 207 424 × 2 = 1 + 0,951 999 999 990 414 848;
  • 10) 0,951 999 999 990 414 848 × 2 = 1 + 0,903 999 999 980 829 696;
  • 11) 0,903 999 999 980 829 696 × 2 = 1 + 0,807 999 999 961 659 392;
  • 12) 0,807 999 999 961 659 392 × 2 = 1 + 0,615 999 999 923 318 784;
  • 13) 0,615 999 999 923 318 784 × 2 = 1 + 0,231 999 999 846 637 568;
  • 14) 0,231 999 999 846 637 568 × 2 = 0 + 0,463 999 999 693 275 136;
  • 15) 0,463 999 999 693 275 136 × 2 = 0 + 0,927 999 999 386 550 272;
  • 16) 0,927 999 999 386 550 272 × 2 = 1 + 0,855 999 998 773 100 544;
  • 17) 0,855 999 998 773 100 544 × 2 = 1 + 0,711 999 997 546 201 088;
  • 18) 0,711 999 997 546 201 088 × 2 = 1 + 0,423 999 995 092 402 176;
  • 19) 0,423 999 995 092 402 176 × 2 = 0 + 0,847 999 990 184 804 352;
  • 20) 0,847 999 990 184 804 352 × 2 = 1 + 0,695 999 980 369 608 704;
  • 21) 0,695 999 980 369 608 704 × 2 = 1 + 0,391 999 960 739 217 408;
  • 22) 0,391 999 960 739 217 408 × 2 = 0 + 0,783 999 921 478 434 816;
  • 23) 0,783 999 921 478 434 816 × 2 = 1 + 0,567 999 842 956 869 632;
  • 24) 0,567 999 842 956 869 632 × 2 = 1 + 0,135 999 685 913 739 264;
  • 25) 0,135 999 685 913 739 264 × 2 = 0 + 0,271 999 371 827 478 528;
  • 26) 0,271 999 371 827 478 528 × 2 = 0 + 0,543 998 743 654 957 056;
  • 27) 0,543 998 743 654 957 056 × 2 = 1 + 0,087 997 487 309 914 112;
  • 28) 0,087 997 487 309 914 112 × 2 = 0 + 0,175 994 974 619 828 224;
  • 29) 0,175 994 974 619 828 224 × 2 = 0 + 0,351 989 949 239 656 448;
  • 30) 0,351 989 949 239 656 448 × 2 = 0 + 0,703 979 898 479 312 896;
  • 31) 0,703 979 898 479 312 896 × 2 = 1 + 0,407 959 796 958 625 792;
  • 32) 0,407 959 796 958 625 792 × 2 = 0 + 0,815 919 593 917 251 584;
  • 33) 0,815 919 593 917 251 584 × 2 = 1 + 0,631 839 187 834 503 168;
  • 34) 0,631 839 187 834 503 168 × 2 = 1 + 0,263 678 375 669 006 336;
  • 35) 0,263 678 375 669 006 336 × 2 = 0 + 0,527 356 751 338 012 672;
  • 36) 0,527 356 751 338 012 672 × 2 = 1 + 0,054 713 502 676 025 344;
  • 37) 0,054 713 502 676 025 344 × 2 = 0 + 0,109 427 005 352 050 688;
  • 38) 0,109 427 005 352 050 688 × 2 = 0 + 0,218 854 010 704 101 376;
  • 39) 0,218 854 010 704 101 376 × 2 = 0 + 0,437 708 021 408 202 752;
  • 40) 0,437 708 021 408 202 752 × 2 = 0 + 0,875 416 042 816 405 504;
  • 41) 0,875 416 042 816 405 504 × 2 = 1 + 0,750 832 085 632 811 008;
  • 42) 0,750 832 085 632 811 008 × 2 = 1 + 0,501 664 171 265 622 016;
  • 43) 0,501 664 171 265 622 016 × 2 = 1 + 0,003 328 342 531 244 032;
  • 44) 0,003 328 342 531 244 032 × 2 = 0 + 0,006 656 685 062 488 064;
  • 45) 0,006 656 685 062 488 064 × 2 = 0 + 0,013 313 370 124 976 128;
  • 46) 0,013 313 370 124 976 128 × 2 = 0 + 0,026 626 740 249 952 256;
  • 47) 0,026 626 740 249 952 256 × 2 = 0 + 0,053 253 480 499 904 512;
  • 48) 0,053 253 480 499 904 512 × 2 = 0 + 0,106 506 960 999 809 024;
  • 49) 0,106 506 960 999 809 024 × 2 = 0 + 0,213 013 921 999 618 048;
  • 50) 0,213 013 921 999 618 048 × 2 = 0 + 0,426 027 843 999 236 096;
  • 51) 0,426 027 843 999 236 096 × 2 = 0 + 0,852 055 687 998 472 192;
  • 52) 0,852 055 687 998 472 192 × 2 = 1 + 0,704 111 375 996 944 384;
  • 53) 0,704 111 375 996 944 384 × 2 = 1 + 0,408 222 751 993 888 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,120 999 999 999 981 279(10) =

0,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

204,120 999 999 999 981 279(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


204,120 999 999 999 981 279(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2) × 20 =

1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0011(2) × 27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0011 =

1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100


Numărul zecimal 204,120 999 999 999 981 279 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0110 - 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100

Distribuie

» Scriere 204,120 999 999 999 981 312 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100