241 317,426 001 548 766 228 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 241 317,426 001 548 766 228(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
241 317,426 001 548 766 228(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 241 317.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 241 317 : 2 = 120 658 + 1;
  • 120 658 : 2 = 60 329 + 0;
  • 60 329 : 2 = 30 164 + 1;
  • 30 164 : 2 = 15 082 + 0;
  • 15 082 : 2 = 7 541 + 0;
  • 7 541 : 2 = 3 770 + 1;
  • 3 770 : 2 = 1 885 + 0;
  • 1 885 : 2 = 942 + 1;
  • 942 : 2 = 471 + 0;
  • 471 : 2 = 235 + 1;
  • 235 : 2 = 117 + 1;
  • 117 : 2 = 58 + 1;
  • 58 : 2 = 29 + 0;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

241 317(10) =

11 1010 1110 1010 0101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,426 001 548 766 228.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,426 001 548 766 228 × 2 = 0 + 0,852 003 097 532 456;
  • 2) 0,852 003 097 532 456 × 2 = 1 + 0,704 006 195 064 912;
  • 3) 0,704 006 195 064 912 × 2 = 1 + 0,408 012 390 129 824;
  • 4) 0,408 012 390 129 824 × 2 = 0 + 0,816 024 780 259 648;
  • 5) 0,816 024 780 259 648 × 2 = 1 + 0,632 049 560 519 296;
  • 6) 0,632 049 560 519 296 × 2 = 1 + 0,264 099 121 038 592;
  • 7) 0,264 099 121 038 592 × 2 = 0 + 0,528 198 242 077 184;
  • 8) 0,528 198 242 077 184 × 2 = 1 + 0,056 396 484 154 368;
  • 9) 0,056 396 484 154 368 × 2 = 0 + 0,112 792 968 308 736;
  • 10) 0,112 792 968 308 736 × 2 = 0 + 0,225 585 936 617 472;
  • 11) 0,225 585 936 617 472 × 2 = 0 + 0,451 171 873 234 944;
  • 12) 0,451 171 873 234 944 × 2 = 0 + 0,902 343 746 469 888;
  • 13) 0,902 343 746 469 888 × 2 = 1 + 0,804 687 492 939 776;
  • 14) 0,804 687 492 939 776 × 2 = 1 + 0,609 374 985 879 552;
  • 15) 0,609 374 985 879 552 × 2 = 1 + 0,218 749 971 759 104;
  • 16) 0,218 749 971 759 104 × 2 = 0 + 0,437 499 943 518 208;
  • 17) 0,437 499 943 518 208 × 2 = 0 + 0,874 999 887 036 416;
  • 18) 0,874 999 887 036 416 × 2 = 1 + 0,749 999 774 072 832;
  • 19) 0,749 999 774 072 832 × 2 = 1 + 0,499 999 548 145 664;
  • 20) 0,499 999 548 145 664 × 2 = 0 + 0,999 999 096 291 328;
  • 21) 0,999 999 096 291 328 × 2 = 1 + 0,999 998 192 582 656;
  • 22) 0,999 998 192 582 656 × 2 = 1 + 0,999 996 385 165 312;
  • 23) 0,999 996 385 165 312 × 2 = 1 + 0,999 992 770 330 624;
  • 24) 0,999 992 770 330 624 × 2 = 1 + 0,999 985 540 661 248;
  • 25) 0,999 985 540 661 248 × 2 = 1 + 0,999 971 081 322 496;
  • 26) 0,999 971 081 322 496 × 2 = 1 + 0,999 942 162 644 992;
  • 27) 0,999 942 162 644 992 × 2 = 1 + 0,999 884 325 289 984;
  • 28) 0,999 884 325 289 984 × 2 = 1 + 0,999 768 650 579 968;
  • 29) 0,999 768 650 579 968 × 2 = 1 + 0,999 537 301 159 936;
  • 30) 0,999 537 301 159 936 × 2 = 1 + 0,999 074 602 319 872;
  • 31) 0,999 074 602 319 872 × 2 = 1 + 0,998 149 204 639 744;
  • 32) 0,998 149 204 639 744 × 2 = 1 + 0,996 298 409 279 488;
  • 33) 0,996 298 409 279 488 × 2 = 1 + 0,992 596 818 558 976;
  • 34) 0,992 596 818 558 976 × 2 = 1 + 0,985 193 637 117 952;
  • 35) 0,985 193 637 117 952 × 2 = 1 + 0,970 387 274 235 904;
  • 36) 0,970 387 274 235 904 × 2 = 1 + 0,940 774 548 471 808;
  • 37) 0,940 774 548 471 808 × 2 = 1 + 0,881 549 096 943 616;
  • 38) 0,881 549 096 943 616 × 2 = 1 + 0,763 098 193 887 232;
  • 39) 0,763 098 193 887 232 × 2 = 1 + 0,526 196 387 774 464;
  • 40) 0,526 196 387 774 464 × 2 = 1 + 0,052 392 775 548 928;
  • 41) 0,052 392 775 548 928 × 2 = 0 + 0,104 785 551 097 856;
  • 42) 0,104 785 551 097 856 × 2 = 0 + 0,209 571 102 195 712;
  • 43) 0,209 571 102 195 712 × 2 = 0 + 0,419 142 204 391 424;
  • 44) 0,419 142 204 391 424 × 2 = 0 + 0,838 284 408 782 848;
  • 45) 0,838 284 408 782 848 × 2 = 1 + 0,676 568 817 565 696;
  • 46) 0,676 568 817 565 696 × 2 = 1 + 0,353 137 635 131 392;
  • 47) 0,353 137 635 131 392 × 2 = 0 + 0,706 275 270 262 784;
  • 48) 0,706 275 270 262 784 × 2 = 1 + 0,412 550 540 525 568;
  • 49) 0,412 550 540 525 568 × 2 = 0 + 0,825 101 081 051 136;
  • 50) 0,825 101 081 051 136 × 2 = 1 + 0,650 202 162 102 272;
  • 51) 0,650 202 162 102 272 × 2 = 1 + 0,300 404 324 204 544;
  • 52) 0,300 404 324 204 544 × 2 = 0 + 0,600 808 648 409 088;
  • 53) 0,600 808 648 409 088 × 2 = 1 + 0,201 617 296 818 176;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,426 001 548 766 228(10) =

0,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 1101 0110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

241 317,426 001 548 766 228(10) =

11 1010 1110 1010 0101,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 1101 0110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


241 317,426 001 548 766 228(10) =

11 1010 1110 1010 0101,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 1101 0110 1(2) =

11 1010 1110 1010 0101,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 1101 0110 1(2) × 20 =

1,1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1011 01(2) × 217


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 17

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111 1111 1000 0110 1011 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

17 + 2(11-1) - 1 =

(17 + 1 023)(10) =

1 040(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 040 : 2 = 520 + 0;
  • 520 : 2 = 260 + 0;
  • 260 : 2 = 130 + 0;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1040(10) =

100 0001 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111 11 1110 0001 1010 1101 =

1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0000

Mantisă (52 biți) =
1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 241 317,426 001 548 766 228 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 0000 - 1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 241 317,426 001 548 766 207 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100