27,257 299 999 999 998 21 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 27,257 299 999 999 998 21(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
27,257 299 999 999 998 21(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 27.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

27(10) =

1 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,257 299 999 999 998 21.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,257 299 999 999 998 21 × 2 = 0 + 0,514 599 999 999 996 42;
  • 2) 0,514 599 999 999 996 42 × 2 = 1 + 0,029 199 999 999 992 84;
  • 3) 0,029 199 999 999 992 84 × 2 = 0 + 0,058 399 999 999 985 68;
  • 4) 0,058 399 999 999 985 68 × 2 = 0 + 0,116 799 999 999 971 36;
  • 5) 0,116 799 999 999 971 36 × 2 = 0 + 0,233 599 999 999 942 72;
  • 6) 0,233 599 999 999 942 72 × 2 = 0 + 0,467 199 999 999 885 44;
  • 7) 0,467 199 999 999 885 44 × 2 = 0 + 0,934 399 999 999 770 88;
  • 8) 0,934 399 999 999 770 88 × 2 = 1 + 0,868 799 999 999 541 76;
  • 9) 0,868 799 999 999 541 76 × 2 = 1 + 0,737 599 999 999 083 52;
  • 10) 0,737 599 999 999 083 52 × 2 = 1 + 0,475 199 999 998 167 04;
  • 11) 0,475 199 999 998 167 04 × 2 = 0 + 0,950 399 999 996 334 08;
  • 12) 0,950 399 999 996 334 08 × 2 = 1 + 0,900 799 999 992 668 16;
  • 13) 0,900 799 999 992 668 16 × 2 = 1 + 0,801 599 999 985 336 32;
  • 14) 0,801 599 999 985 336 32 × 2 = 1 + 0,603 199 999 970 672 64;
  • 15) 0,603 199 999 970 672 64 × 2 = 1 + 0,206 399 999 941 345 28;
  • 16) 0,206 399 999 941 345 28 × 2 = 0 + 0,412 799 999 882 690 56;
  • 17) 0,412 799 999 882 690 56 × 2 = 0 + 0,825 599 999 765 381 12;
  • 18) 0,825 599 999 765 381 12 × 2 = 1 + 0,651 199 999 530 762 24;
  • 19) 0,651 199 999 530 762 24 × 2 = 1 + 0,302 399 999 061 524 48;
  • 20) 0,302 399 999 061 524 48 × 2 = 0 + 0,604 799 998 123 048 96;
  • 21) 0,604 799 998 123 048 96 × 2 = 1 + 0,209 599 996 246 097 92;
  • 22) 0,209 599 996 246 097 92 × 2 = 0 + 0,419 199 992 492 195 84;
  • 23) 0,419 199 992 492 195 84 × 2 = 0 + 0,838 399 984 984 391 68;
  • 24) 0,838 399 984 984 391 68 × 2 = 1 + 0,676 799 969 968 783 36;
  • 25) 0,676 799 969 968 783 36 × 2 = 1 + 0,353 599 939 937 566 72;
  • 26) 0,353 599 939 937 566 72 × 2 = 0 + 0,707 199 879 875 133 44;
  • 27) 0,707 199 879 875 133 44 × 2 = 1 + 0,414 399 759 750 266 88;
  • 28) 0,414 399 759 750 266 88 × 2 = 0 + 0,828 799 519 500 533 76;
  • 29) 0,828 799 519 500 533 76 × 2 = 1 + 0,657 599 039 001 067 52;
  • 30) 0,657 599 039 001 067 52 × 2 = 1 + 0,315 198 078 002 135 04;
  • 31) 0,315 198 078 002 135 04 × 2 = 0 + 0,630 396 156 004 270 08;
  • 32) 0,630 396 156 004 270 08 × 2 = 1 + 0,260 792 312 008 540 16;
  • 33) 0,260 792 312 008 540 16 × 2 = 0 + 0,521 584 624 017 080 32;
  • 34) 0,521 584 624 017 080 32 × 2 = 1 + 0,043 169 248 034 160 64;
  • 35) 0,043 169 248 034 160 64 × 2 = 0 + 0,086 338 496 068 321 28;
  • 36) 0,086 338 496 068 321 28 × 2 = 0 + 0,172 676 992 136 642 56;
  • 37) 0,172 676 992 136 642 56 × 2 = 0 + 0,345 353 984 273 285 12;
  • 38) 0,345 353 984 273 285 12 × 2 = 0 + 0,690 707 968 546 570 24;
  • 39) 0,690 707 968 546 570 24 × 2 = 1 + 0,381 415 937 093 140 48;
  • 40) 0,381 415 937 093 140 48 × 2 = 0 + 0,762 831 874 186 280 96;
  • 41) 0,762 831 874 186 280 96 × 2 = 1 + 0,525 663 748 372 561 92;
  • 42) 0,525 663 748 372 561 92 × 2 = 1 + 0,051 327 496 745 123 84;
  • 43) 0,051 327 496 745 123 84 × 2 = 0 + 0,102 654 993 490 247 68;
  • 44) 0,102 654 993 490 247 68 × 2 = 0 + 0,205 309 986 980 495 36;
  • 45) 0,205 309 986 980 495 36 × 2 = 0 + 0,410 619 973 960 990 72;
  • 46) 0,410 619 973 960 990 72 × 2 = 0 + 0,821 239 947 921 981 44;
  • 47) 0,821 239 947 921 981 44 × 2 = 1 + 0,642 479 895 843 962 88;
  • 48) 0,642 479 895 843 962 88 × 2 = 1 + 0,284 959 791 687 925 76;
  • 49) 0,284 959 791 687 925 76 × 2 = 0 + 0,569 919 583 375 851 52;
  • 50) 0,569 919 583 375 851 52 × 2 = 1 + 0,139 839 166 751 703 04;
  • 51) 0,139 839 166 751 703 04 × 2 = 0 + 0,279 678 333 503 406 08;
  • 52) 0,279 678 333 503 406 08 × 2 = 0 + 0,559 356 667 006 812 16;
  • 53) 0,559 356 667 006 812 16 × 2 = 1 + 0,118 713 334 013 624 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,257 299 999 999 998 21(10) =

0,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

27,257 299 999 999 998 21(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


27,257 299 999 999 998 21(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0100 1(2) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0100 1(2) × 20 =

1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0100 1(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0100 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0 1001 =

1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


Numărul zecimal 27,257 299 999 999 998 21 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011

» Scriere 27,257 299 999 999 997 95 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100