3,141 592 653 589 793 115 996 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 115 996 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 115 996 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 115 996 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 115 996 6 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 231 993 2;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 231 993 2 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 463 986 4;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 463 986 4 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 344 927 972 8;
  • 4) 0,132 741 228 718 344 927 972 8 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 689 855 945 6;
  • 5) 0,265 482 457 436 689 855 945 6 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 379 711 891 2;
  • 6) 0,530 964 914 873 379 711 891 2 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 759 423 782 4;
  • 7) 0,061 929 829 746 759 423 782 4 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 518 847 564 8;
  • 8) 0,123 859 659 493 518 847 564 8 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 037 695 129 6;
  • 9) 0,247 719 318 987 037 695 129 6 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 075 390 259 2;
  • 10) 0,495 438 637 974 075 390 259 2 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 150 780 518 4;
  • 11) 0,990 877 275 948 150 780 518 4 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 301 561 036 8;
  • 12) 0,981 754 551 896 301 561 036 8 × 2 = 1 + 0,963 509 103 792 603 122 073 6;
  • 13) 0,963 509 103 792 603 122 073 6 × 2 = 1 + 0,927 018 207 585 206 244 147 2;
  • 14) 0,927 018 207 585 206 244 147 2 × 2 = 1 + 0,854 036 415 170 412 488 294 4;
  • 15) 0,854 036 415 170 412 488 294 4 × 2 = 1 + 0,708 072 830 340 824 976 588 8;
  • 16) 0,708 072 830 340 824 976 588 8 × 2 = 1 + 0,416 145 660 681 649 953 177 6;
  • 17) 0,416 145 660 681 649 953 177 6 × 2 = 0 + 0,832 291 321 363 299 906 355 2;
  • 18) 0,832 291 321 363 299 906 355 2 × 2 = 1 + 0,664 582 642 726 599 812 710 4;
  • 19) 0,664 582 642 726 599 812 710 4 × 2 = 1 + 0,329 165 285 453 199 625 420 8;
  • 20) 0,329 165 285 453 199 625 420 8 × 2 = 0 + 0,658 330 570 906 399 250 841 6;
  • 21) 0,658 330 570 906 399 250 841 6 × 2 = 1 + 0,316 661 141 812 798 501 683 2;
  • 22) 0,316 661 141 812 798 501 683 2 × 2 = 0 + 0,633 322 283 625 597 003 366 4;
  • 23) 0,633 322 283 625 597 003 366 4 × 2 = 1 + 0,266 644 567 251 194 006 732 8;
  • 24) 0,266 644 567 251 194 006 732 8 × 2 = 0 + 0,533 289 134 502 388 013 465 6;
  • 25) 0,533 289 134 502 388 013 465 6 × 2 = 1 + 0,066 578 269 004 776 026 931 2;
  • 26) 0,066 578 269 004 776 026 931 2 × 2 = 0 + 0,133 156 538 009 552 053 862 4;
  • 27) 0,133 156 538 009 552 053 862 4 × 2 = 0 + 0,266 313 076 019 104 107 724 8;
  • 28) 0,266 313 076 019 104 107 724 8 × 2 = 0 + 0,532 626 152 038 208 215 449 6;
  • 29) 0,532 626 152 038 208 215 449 6 × 2 = 1 + 0,065 252 304 076 416 430 899 2;
  • 30) 0,065 252 304 076 416 430 899 2 × 2 = 0 + 0,130 504 608 152 832 861 798 4;
  • 31) 0,130 504 608 152 832 861 798 4 × 2 = 0 + 0,261 009 216 305 665 723 596 8;
  • 32) 0,261 009 216 305 665 723 596 8 × 2 = 0 + 0,522 018 432 611 331 447 193 6;
  • 33) 0,522 018 432 611 331 447 193 6 × 2 = 1 + 0,044 036 865 222 662 894 387 2;
  • 34) 0,044 036 865 222 662 894 387 2 × 2 = 0 + 0,088 073 730 445 325 788 774 4;
  • 35) 0,088 073 730 445 325 788 774 4 × 2 = 0 + 0,176 147 460 890 651 577 548 8;
  • 36) 0,176 147 460 890 651 577 548 8 × 2 = 0 + 0,352 294 921 781 303 155 097 6;
  • 37) 0,352 294 921 781 303 155 097 6 × 2 = 0 + 0,704 589 843 562 606 310 195 2;
  • 38) 0,704 589 843 562 606 310 195 2 × 2 = 1 + 0,409 179 687 125 212 620 390 4;
  • 39) 0,409 179 687 125 212 620 390 4 × 2 = 0 + 0,818 359 374 250 425 240 780 8;
  • 40) 0,818 359 374 250 425 240 780 8 × 2 = 1 + 0,636 718 748 500 850 481 561 6;
  • 41) 0,636 718 748 500 850 481 561 6 × 2 = 1 + 0,273 437 497 001 700 963 123 2;
  • 42) 0,273 437 497 001 700 963 123 2 × 2 = 0 + 0,546 874 994 003 401 926 246 4;
  • 43) 0,546 874 994 003 401 926 246 4 × 2 = 1 + 0,093 749 988 006 803 852 492 8;
  • 44) 0,093 749 988 006 803 852 492 8 × 2 = 0 + 0,187 499 976 013 607 704 985 6;
  • 45) 0,187 499 976 013 607 704 985 6 × 2 = 0 + 0,374 999 952 027 215 409 971 2;
  • 46) 0,374 999 952 027 215 409 971 2 × 2 = 0 + 0,749 999 904 054 430 819 942 4;
  • 47) 0,749 999 904 054 430 819 942 4 × 2 = 1 + 0,499 999 808 108 861 639 884 8;
  • 48) 0,499 999 808 108 861 639 884 8 × 2 = 0 + 0,999 999 616 217 723 279 769 6;
  • 49) 0,999 999 616 217 723 279 769 6 × 2 = 1 + 0,999 999 232 435 446 559 539 2;
  • 50) 0,999 999 232 435 446 559 539 2 × 2 = 1 + 0,999 998 464 870 893 119 078 4;
  • 51) 0,999 998 464 870 893 119 078 4 × 2 = 1 + 0,999 996 929 741 786 238 156 8;
  • 52) 0,999 996 929 741 786 238 156 8 × 2 = 1 + 0,999 993 859 483 572 476 313 6;
  • 53) 0,999 993 859 483 572 476 313 6 × 2 = 1 + 0,999 987 718 967 144 952 627 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 115 996 6(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 115 996 6(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 115 996 6(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111 11 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 115 996 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111

» Scriere 3,141 592 653 589 793 116 002 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100