3,141 592 653 589 793 115 997 967 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 115 997 967 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 115 997 967 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 115 997 967 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 115 997 967 3 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 231 995 934 6;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 231 995 934 6 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 463 991 869 2;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 463 991 869 2 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 344 927 983 738 4;
  • 4) 0,132 741 228 718 344 927 983 738 4 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 689 855 967 476 8;
  • 5) 0,265 482 457 436 689 855 967 476 8 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 379 711 934 953 6;
  • 6) 0,530 964 914 873 379 711 934 953 6 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 759 423 869 907 2;
  • 7) 0,061 929 829 746 759 423 869 907 2 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 518 847 739 814 4;
  • 8) 0,123 859 659 493 518 847 739 814 4 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 037 695 479 628 8;
  • 9) 0,247 719 318 987 037 695 479 628 8 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 075 390 959 257 6;
  • 10) 0,495 438 637 974 075 390 959 257 6 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 150 781 918 515 2;
  • 11) 0,990 877 275 948 150 781 918 515 2 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 301 563 837 030 4;
  • 12) 0,981 754 551 896 301 563 837 030 4 × 2 = 1 + 0,963 509 103 792 603 127 674 060 8;
  • 13) 0,963 509 103 792 603 127 674 060 8 × 2 = 1 + 0,927 018 207 585 206 255 348 121 6;
  • 14) 0,927 018 207 585 206 255 348 121 6 × 2 = 1 + 0,854 036 415 170 412 510 696 243 2;
  • 15) 0,854 036 415 170 412 510 696 243 2 × 2 = 1 + 0,708 072 830 340 825 021 392 486 4;
  • 16) 0,708 072 830 340 825 021 392 486 4 × 2 = 1 + 0,416 145 660 681 650 042 784 972 8;
  • 17) 0,416 145 660 681 650 042 784 972 8 × 2 = 0 + 0,832 291 321 363 300 085 569 945 6;
  • 18) 0,832 291 321 363 300 085 569 945 6 × 2 = 1 + 0,664 582 642 726 600 171 139 891 2;
  • 19) 0,664 582 642 726 600 171 139 891 2 × 2 = 1 + 0,329 165 285 453 200 342 279 782 4;
  • 20) 0,329 165 285 453 200 342 279 782 4 × 2 = 0 + 0,658 330 570 906 400 684 559 564 8;
  • 21) 0,658 330 570 906 400 684 559 564 8 × 2 = 1 + 0,316 661 141 812 801 369 119 129 6;
  • 22) 0,316 661 141 812 801 369 119 129 6 × 2 = 0 + 0,633 322 283 625 602 738 238 259 2;
  • 23) 0,633 322 283 625 602 738 238 259 2 × 2 = 1 + 0,266 644 567 251 205 476 476 518 4;
  • 24) 0,266 644 567 251 205 476 476 518 4 × 2 = 0 + 0,533 289 134 502 410 952 953 036 8;
  • 25) 0,533 289 134 502 410 952 953 036 8 × 2 = 1 + 0,066 578 269 004 821 905 906 073 6;
  • 26) 0,066 578 269 004 821 905 906 073 6 × 2 = 0 + 0,133 156 538 009 643 811 812 147 2;
  • 27) 0,133 156 538 009 643 811 812 147 2 × 2 = 0 + 0,266 313 076 019 287 623 624 294 4;
  • 28) 0,266 313 076 019 287 623 624 294 4 × 2 = 0 + 0,532 626 152 038 575 247 248 588 8;
  • 29) 0,532 626 152 038 575 247 248 588 8 × 2 = 1 + 0,065 252 304 077 150 494 497 177 6;
  • 30) 0,065 252 304 077 150 494 497 177 6 × 2 = 0 + 0,130 504 608 154 300 988 994 355 2;
  • 31) 0,130 504 608 154 300 988 994 355 2 × 2 = 0 + 0,261 009 216 308 601 977 988 710 4;
  • 32) 0,261 009 216 308 601 977 988 710 4 × 2 = 0 + 0,522 018 432 617 203 955 977 420 8;
  • 33) 0,522 018 432 617 203 955 977 420 8 × 2 = 1 + 0,044 036 865 234 407 911 954 841 6;
  • 34) 0,044 036 865 234 407 911 954 841 6 × 2 = 0 + 0,088 073 730 468 815 823 909 683 2;
  • 35) 0,088 073 730 468 815 823 909 683 2 × 2 = 0 + 0,176 147 460 937 631 647 819 366 4;
  • 36) 0,176 147 460 937 631 647 819 366 4 × 2 = 0 + 0,352 294 921 875 263 295 638 732 8;
  • 37) 0,352 294 921 875 263 295 638 732 8 × 2 = 0 + 0,704 589 843 750 526 591 277 465 6;
  • 38) 0,704 589 843 750 526 591 277 465 6 × 2 = 1 + 0,409 179 687 501 053 182 554 931 2;
  • 39) 0,409 179 687 501 053 182 554 931 2 × 2 = 0 + 0,818 359 375 002 106 365 109 862 4;
  • 40) 0,818 359 375 002 106 365 109 862 4 × 2 = 1 + 0,636 718 750 004 212 730 219 724 8;
  • 41) 0,636 718 750 004 212 730 219 724 8 × 2 = 1 + 0,273 437 500 008 425 460 439 449 6;
  • 42) 0,273 437 500 008 425 460 439 449 6 × 2 = 0 + 0,546 875 000 016 850 920 878 899 2;
  • 43) 0,546 875 000 016 850 920 878 899 2 × 2 = 1 + 0,093 750 000 033 701 841 757 798 4;
  • 44) 0,093 750 000 033 701 841 757 798 4 × 2 = 0 + 0,187 500 000 067 403 683 515 596 8;
  • 45) 0,187 500 000 067 403 683 515 596 8 × 2 = 0 + 0,375 000 000 134 807 367 031 193 6;
  • 46) 0,375 000 000 134 807 367 031 193 6 × 2 = 0 + 0,750 000 000 269 614 734 062 387 2;
  • 47) 0,750 000 000 269 614 734 062 387 2 × 2 = 1 + 0,500 000 000 539 229 468 124 774 4;
  • 48) 0,500 000 000 539 229 468 124 774 4 × 2 = 1 + 0,000 000 001 078 458 936 249 548 8;
  • 49) 0,000 000 001 078 458 936 249 548 8 × 2 = 0 + 0,000 000 002 156 917 872 499 097 6;
  • 50) 0,000 000 002 156 917 872 499 097 6 × 2 = 0 + 0,000 000 004 313 835 744 998 195 2;
  • 51) 0,000 000 004 313 835 744 998 195 2 × 2 = 0 + 0,000 000 008 627 671 489 996 390 4;
  • 52) 0,000 000 008 627 671 489 996 390 4 × 2 = 0 + 0,000 000 017 255 342 979 992 780 8;
  • 53) 0,000 000 017 255 342 979 992 780 8 × 2 = 0 + 0,000 000 034 510 685 959 985 561 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 115 997 967 3(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 115 997 967 3(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 115 997 967 3(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 115 997 967 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 589 793 115 997 965 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100