38,811 999 999 999 997 612 573 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 38,811 999 999 999 997 612 573 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
38,811 999 999 999 997 612 573 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 38.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

38(10) =

10 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,811 999 999 999 997 612 573 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,811 999 999 999 997 612 573 5 × 2 = 1 + 0,623 999 999 999 995 225 147;
  • 2) 0,623 999 999 999 995 225 147 × 2 = 1 + 0,247 999 999 999 990 450 294;
  • 3) 0,247 999 999 999 990 450 294 × 2 = 0 + 0,495 999 999 999 980 900 588;
  • 4) 0,495 999 999 999 980 900 588 × 2 = 0 + 0,991 999 999 999 961 801 176;
  • 5) 0,991 999 999 999 961 801 176 × 2 = 1 + 0,983 999 999 999 923 602 352;
  • 6) 0,983 999 999 999 923 602 352 × 2 = 1 + 0,967 999 999 999 847 204 704;
  • 7) 0,967 999 999 999 847 204 704 × 2 = 1 + 0,935 999 999 999 694 409 408;
  • 8) 0,935 999 999 999 694 409 408 × 2 = 1 + 0,871 999 999 999 388 818 816;
  • 9) 0,871 999 999 999 388 818 816 × 2 = 1 + 0,743 999 999 998 777 637 632;
  • 10) 0,743 999 999 998 777 637 632 × 2 = 1 + 0,487 999 999 997 555 275 264;
  • 11) 0,487 999 999 997 555 275 264 × 2 = 0 + 0,975 999 999 995 110 550 528;
  • 12) 0,975 999 999 995 110 550 528 × 2 = 1 + 0,951 999 999 990 221 101 056;
  • 13) 0,951 999 999 990 221 101 056 × 2 = 1 + 0,903 999 999 980 442 202 112;
  • 14) 0,903 999 999 980 442 202 112 × 2 = 1 + 0,807 999 999 960 884 404 224;
  • 15) 0,807 999 999 960 884 404 224 × 2 = 1 + 0,615 999 999 921 768 808 448;
  • 16) 0,615 999 999 921 768 808 448 × 2 = 1 + 0,231 999 999 843 537 616 896;
  • 17) 0,231 999 999 843 537 616 896 × 2 = 0 + 0,463 999 999 687 075 233 792;
  • 18) 0,463 999 999 687 075 233 792 × 2 = 0 + 0,927 999 999 374 150 467 584;
  • 19) 0,927 999 999 374 150 467 584 × 2 = 1 + 0,855 999 998 748 300 935 168;
  • 20) 0,855 999 998 748 300 935 168 × 2 = 1 + 0,711 999 997 496 601 870 336;
  • 21) 0,711 999 997 496 601 870 336 × 2 = 1 + 0,423 999 994 993 203 740 672;
  • 22) 0,423 999 994 993 203 740 672 × 2 = 0 + 0,847 999 989 986 407 481 344;
  • 23) 0,847 999 989 986 407 481 344 × 2 = 1 + 0,695 999 979 972 814 962 688;
  • 24) 0,695 999 979 972 814 962 688 × 2 = 1 + 0,391 999 959 945 629 925 376;
  • 25) 0,391 999 959 945 629 925 376 × 2 = 0 + 0,783 999 919 891 259 850 752;
  • 26) 0,783 999 919 891 259 850 752 × 2 = 1 + 0,567 999 839 782 519 701 504;
  • 27) 0,567 999 839 782 519 701 504 × 2 = 1 + 0,135 999 679 565 039 403 008;
  • 28) 0,135 999 679 565 039 403 008 × 2 = 0 + 0,271 999 359 130 078 806 016;
  • 29) 0,271 999 359 130 078 806 016 × 2 = 0 + 0,543 998 718 260 157 612 032;
  • 30) 0,543 998 718 260 157 612 032 × 2 = 1 + 0,087 997 436 520 315 224 064;
  • 31) 0,087 997 436 520 315 224 064 × 2 = 0 + 0,175 994 873 040 630 448 128;
  • 32) 0,175 994 873 040 630 448 128 × 2 = 0 + 0,351 989 746 081 260 896 256;
  • 33) 0,351 989 746 081 260 896 256 × 2 = 0 + 0,703 979 492 162 521 792 512;
  • 34) 0,703 979 492 162 521 792 512 × 2 = 1 + 0,407 958 984 325 043 585 024;
  • 35) 0,407 958 984 325 043 585 024 × 2 = 0 + 0,815 917 968 650 087 170 048;
  • 36) 0,815 917 968 650 087 170 048 × 2 = 1 + 0,631 835 937 300 174 340 096;
  • 37) 0,631 835 937 300 174 340 096 × 2 = 1 + 0,263 671 874 600 348 680 192;
  • 38) 0,263 671 874 600 348 680 192 × 2 = 0 + 0,527 343 749 200 697 360 384;
  • 39) 0,527 343 749 200 697 360 384 × 2 = 1 + 0,054 687 498 401 394 720 768;
  • 40) 0,054 687 498 401 394 720 768 × 2 = 0 + 0,109 374 996 802 789 441 536;
  • 41) 0,109 374 996 802 789 441 536 × 2 = 0 + 0,218 749 993 605 578 883 072;
  • 42) 0,218 749 993 605 578 883 072 × 2 = 0 + 0,437 499 987 211 157 766 144;
  • 43) 0,437 499 987 211 157 766 144 × 2 = 0 + 0,874 999 974 422 315 532 288;
  • 44) 0,874 999 974 422 315 532 288 × 2 = 1 + 0,749 999 948 844 631 064 576;
  • 45) 0,749 999 948 844 631 064 576 × 2 = 1 + 0,499 999 897 689 262 129 152;
  • 46) 0,499 999 897 689 262 129 152 × 2 = 0 + 0,999 999 795 378 524 258 304;
  • 47) 0,999 999 795 378 524 258 304 × 2 = 1 + 0,999 999 590 757 048 516 608;
  • 48) 0,999 999 590 757 048 516 608 × 2 = 1 + 0,999 999 181 514 097 033 216;
  • 49) 0,999 999 181 514 097 033 216 × 2 = 1 + 0,999 998 363 028 194 066 432;
  • 50) 0,999 998 363 028 194 066 432 × 2 = 1 + 0,999 996 726 056 388 132 864;
  • 51) 0,999 996 726 056 388 132 864 × 2 = 1 + 0,999 993 452 112 776 265 728;
  • 52) 0,999 993 452 112 776 265 728 × 2 = 1 + 0,999 986 904 225 552 531 456;
  • 53) 0,999 986 904 225 552 531 456 × 2 = 1 + 0,999 973 808 451 105 062 912;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,811 999 999 999 997 612 573 5(10) =

0,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

38,811 999 999 999 997 612 573 5(10) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


38,811 999 999 999 997 612 573 5(10) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1(2) =

10 0110,1100 1111 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1(2) × 20 =

1,0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 1111 11(2) × 25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 5

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

5 + 2(11-1) - 1 =

(5 + 1 023)(10) =

1 028(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1028(10) =

100 0000 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 11 1111 =

0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0100

Mantisă (52 biți) =
0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101


Numărul zecimal 38,811 999 999 999 997 612 573 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0100 - 0011 0110 0111 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101

Distribuie

» Scriere 38,811 999 999 999 997 612 582 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100