390,441 874 999 999 981 810 065 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 390,441 874 999 999 981 810 065 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
390,441 874 999 999 981 810 065 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 390.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 390 : 2 = 195 + 0;
  • 195 : 2 = 97 + 1;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

390(10) =

1 1000 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,441 874 999 999 981 810 065 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,441 874 999 999 981 810 065 1 × 2 = 0 + 0,883 749 999 999 963 620 130 2;
  • 2) 0,883 749 999 999 963 620 130 2 × 2 = 1 + 0,767 499 999 999 927 240 260 4;
  • 3) 0,767 499 999 999 927 240 260 4 × 2 = 1 + 0,534 999 999 999 854 480 520 8;
  • 4) 0,534 999 999 999 854 480 520 8 × 2 = 1 + 0,069 999 999 999 708 961 041 6;
  • 5) 0,069 999 999 999 708 961 041 6 × 2 = 0 + 0,139 999 999 999 417 922 083 2;
  • 6) 0,139 999 999 999 417 922 083 2 × 2 = 0 + 0,279 999 999 998 835 844 166 4;
  • 7) 0,279 999 999 998 835 844 166 4 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 688 332 8;
  • 8) 0,559 999 999 997 671 688 332 8 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 376 665 6;
  • 9) 0,119 999 999 995 343 376 665 6 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 753 331 2;
  • 10) 0,239 999 999 990 686 753 331 2 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 373 506 662 4;
  • 11) 0,479 999 999 981 373 506 662 4 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 747 013 324 8;
  • 12) 0,959 999 999 962 747 013 324 8 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 494 026 649 6;
  • 13) 0,919 999 999 925 494 026 649 6 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 988 053 299 2;
  • 14) 0,839 999 999 850 988 053 299 2 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 976 106 598 4;
  • 15) 0,679 999 999 701 976 106 598 4 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 952 213 196 8;
  • 16) 0,359 999 999 403 952 213 196 8 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 904 426 393 6;
  • 17) 0,719 999 998 807 904 426 393 6 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 808 852 787 2;
  • 18) 0,439 999 997 615 808 852 787 2 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 617 705 574 4;
  • 19) 0,879 999 995 231 617 705 574 4 × 2 = 1 + 0,759 999 990 463 235 411 148 8;
  • 20) 0,759 999 990 463 235 411 148 8 × 2 = 1 + 0,519 999 980 926 470 822 297 6;
  • 21) 0,519 999 980 926 470 822 297 6 × 2 = 1 + 0,039 999 961 852 941 644 595 2;
  • 22) 0,039 999 961 852 941 644 595 2 × 2 = 0 + 0,079 999 923 705 883 289 190 4;
  • 23) 0,079 999 923 705 883 289 190 4 × 2 = 0 + 0,159 999 847 411 766 578 380 8;
  • 24) 0,159 999 847 411 766 578 380 8 × 2 = 0 + 0,319 999 694 823 533 156 761 6;
  • 25) 0,319 999 694 823 533 156 761 6 × 2 = 0 + 0,639 999 389 647 066 313 523 2;
  • 26) 0,639 999 389 647 066 313 523 2 × 2 = 1 + 0,279 998 779 294 132 627 046 4;
  • 27) 0,279 998 779 294 132 627 046 4 × 2 = 0 + 0,559 997 558 588 265 254 092 8;
  • 28) 0,559 997 558 588 265 254 092 8 × 2 = 1 + 0,119 995 117 176 530 508 185 6;
  • 29) 0,119 995 117 176 530 508 185 6 × 2 = 0 + 0,239 990 234 353 061 016 371 2;
  • 30) 0,239 990 234 353 061 016 371 2 × 2 = 0 + 0,479 980 468 706 122 032 742 4;
  • 31) 0,479 980 468 706 122 032 742 4 × 2 = 0 + 0,959 960 937 412 244 065 484 8;
  • 32) 0,959 960 937 412 244 065 484 8 × 2 = 1 + 0,919 921 874 824 488 130 969 6;
  • 33) 0,919 921 874 824 488 130 969 6 × 2 = 1 + 0,839 843 749 648 976 261 939 2;
  • 34) 0,839 843 749 648 976 261 939 2 × 2 = 1 + 0,679 687 499 297 952 523 878 4;
  • 35) 0,679 687 499 297 952 523 878 4 × 2 = 1 + 0,359 374 998 595 905 047 756 8;
  • 36) 0,359 374 998 595 905 047 756 8 × 2 = 0 + 0,718 749 997 191 810 095 513 6;
  • 37) 0,718 749 997 191 810 095 513 6 × 2 = 1 + 0,437 499 994 383 620 191 027 2;
  • 38) 0,437 499 994 383 620 191 027 2 × 2 = 0 + 0,874 999 988 767 240 382 054 4;
  • 39) 0,874 999 988 767 240 382 054 4 × 2 = 1 + 0,749 999 977 534 480 764 108 8;
  • 40) 0,749 999 977 534 480 764 108 8 × 2 = 1 + 0,499 999 955 068 961 528 217 6;
  • 41) 0,499 999 955 068 961 528 217 6 × 2 = 0 + 0,999 999 910 137 923 056 435 2;
  • 42) 0,999 999 910 137 923 056 435 2 × 2 = 1 + 0,999 999 820 275 846 112 870 4;
  • 43) 0,999 999 820 275 846 112 870 4 × 2 = 1 + 0,999 999 640 551 692 225 740 8;
  • 44) 0,999 999 640 551 692 225 740 8 × 2 = 1 + 0,999 999 281 103 384 451 481 6;
  • 45) 0,999 999 281 103 384 451 481 6 × 2 = 1 + 0,999 998 562 206 768 902 963 2;
  • 46) 0,999 998 562 206 768 902 963 2 × 2 = 1 + 0,999 997 124 413 537 805 926 4;
  • 47) 0,999 997 124 413 537 805 926 4 × 2 = 1 + 0,999 994 248 827 075 611 852 8;
  • 48) 0,999 994 248 827 075 611 852 8 × 2 = 1 + 0,999 988 497 654 151 223 705 6;
  • 49) 0,999 988 497 654 151 223 705 6 × 2 = 1 + 0,999 976 995 308 302 447 411 2;
  • 50) 0,999 976 995 308 302 447 411 2 × 2 = 1 + 0,999 953 990 616 604 894 822 4;
  • 51) 0,999 953 990 616 604 894 822 4 × 2 = 1 + 0,999 907 981 233 209 789 644 8;
  • 52) 0,999 907 981 233 209 789 644 8 × 2 = 1 + 0,999 815 962 466 419 579 289 6;
  • 53) 0,999 815 962 466 419 579 289 6 × 2 = 1 + 0,999 631 924 932 839 158 579 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,441 874 999 999 981 810 065 1(10) =

0,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

390,441 874 999 999 981 810 065 1(10) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


390,441 874 999 999 981 810 065 1(10) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2) =

1 1000 0110,0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1 1111 1111 =

1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal 390,441 874 999 999 981 810 065 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 1000 0110 0111 0001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere 390,441 874 999 999 981 810 055 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100