5,919 999 999 999 999 928 954 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 5,919 999 999 999 999 928 954(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
5,919 999 999 999 999 928 954(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 5.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

5(10) =

101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,919 999 999 999 999 928 954.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,919 999 999 999 999 928 954 × 2 = 1 + 0,839 999 999 999 999 857 908;
  • 2) 0,839 999 999 999 999 857 908 × 2 = 1 + 0,679 999 999 999 999 715 816;
  • 3) 0,679 999 999 999 999 715 816 × 2 = 1 + 0,359 999 999 999 999 431 632;
  • 4) 0,359 999 999 999 999 431 632 × 2 = 0 + 0,719 999 999 999 998 863 264;
  • 5) 0,719 999 999 999 998 863 264 × 2 = 1 + 0,439 999 999 999 997 726 528;
  • 6) 0,439 999 999 999 997 726 528 × 2 = 0 + 0,879 999 999 999 995 453 056;
  • 7) 0,879 999 999 999 995 453 056 × 2 = 1 + 0,759 999 999 999 990 906 112;
  • 8) 0,759 999 999 999 990 906 112 × 2 = 1 + 0,519 999 999 999 981 812 224;
  • 9) 0,519 999 999 999 981 812 224 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 624 448;
  • 10) 0,039 999 999 999 963 624 448 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 248 896;
  • 11) 0,079 999 999 999 927 248 896 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 497 792;
  • 12) 0,159 999 999 999 854 497 792 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 708 995 584;
  • 13) 0,319 999 999 999 708 995 584 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 417 991 168;
  • 14) 0,639 999 999 999 417 991 168 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 835 982 336;
  • 15) 0,279 999 999 998 835 982 336 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 964 672;
  • 16) 0,559 999 999 997 671 964 672 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 929 344;
  • 17) 0,119 999 999 995 343 929 344 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 687 858 688;
  • 18) 0,239 999 999 990 687 858 688 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 375 717 376;
  • 19) 0,479 999 999 981 375 717 376 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 751 434 752;
  • 20) 0,959 999 999 962 751 434 752 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 502 869 504;
  • 21) 0,919 999 999 925 502 869 504 × 2 = 1 + 0,839 999 999 851 005 739 008;
  • 22) 0,839 999 999 851 005 739 008 × 2 = 1 + 0,679 999 999 702 011 478 016;
  • 23) 0,679 999 999 702 011 478 016 × 2 = 1 + 0,359 999 999 404 022 956 032;
  • 24) 0,359 999 999 404 022 956 032 × 2 = 0 + 0,719 999 998 808 045 912 064;
  • 25) 0,719 999 998 808 045 912 064 × 2 = 1 + 0,439 999 997 616 091 824 128;
  • 26) 0,439 999 997 616 091 824 128 × 2 = 0 + 0,879 999 995 232 183 648 256;
  • 27) 0,879 999 995 232 183 648 256 × 2 = 1 + 0,759 999 990 464 367 296 512;
  • 28) 0,759 999 990 464 367 296 512 × 2 = 1 + 0,519 999 980 928 734 593 024;
  • 29) 0,519 999 980 928 734 593 024 × 2 = 1 + 0,039 999 961 857 469 186 048;
  • 30) 0,039 999 961 857 469 186 048 × 2 = 0 + 0,079 999 923 714 938 372 096;
  • 31) 0,079 999 923 714 938 372 096 × 2 = 0 + 0,159 999 847 429 876 744 192;
  • 32) 0,159 999 847 429 876 744 192 × 2 = 0 + 0,319 999 694 859 753 488 384;
  • 33) 0,319 999 694 859 753 488 384 × 2 = 0 + 0,639 999 389 719 506 976 768;
  • 34) 0,639 999 389 719 506 976 768 × 2 = 1 + 0,279 998 779 439 013 953 536;
  • 35) 0,279 998 779 439 013 953 536 × 2 = 0 + 0,559 997 558 878 027 907 072;
  • 36) 0,559 997 558 878 027 907 072 × 2 = 1 + 0,119 995 117 756 055 814 144;
  • 37) 0,119 995 117 756 055 814 144 × 2 = 0 + 0,239 990 235 512 111 628 288;
  • 38) 0,239 990 235 512 111 628 288 × 2 = 0 + 0,479 980 471 024 223 256 576;
  • 39) 0,479 980 471 024 223 256 576 × 2 = 0 + 0,959 960 942 048 446 513 152;
  • 40) 0,959 960 942 048 446 513 152 × 2 = 1 + 0,919 921 884 096 893 026 304;
  • 41) 0,919 921 884 096 893 026 304 × 2 = 1 + 0,839 843 768 193 786 052 608;
  • 42) 0,839 843 768 193 786 052 608 × 2 = 1 + 0,679 687 536 387 572 105 216;
  • 43) 0,679 687 536 387 572 105 216 × 2 = 1 + 0,359 375 072 775 144 210 432;
  • 44) 0,359 375 072 775 144 210 432 × 2 = 0 + 0,718 750 145 550 288 420 864;
  • 45) 0,718 750 145 550 288 420 864 × 2 = 1 + 0,437 500 291 100 576 841 728;
  • 46) 0,437 500 291 100 576 841 728 × 2 = 0 + 0,875 000 582 201 153 683 456;
  • 47) 0,875 000 582 201 153 683 456 × 2 = 1 + 0,750 001 164 402 307 366 912;
  • 48) 0,750 001 164 402 307 366 912 × 2 = 1 + 0,500 002 328 804 614 733 824;
  • 49) 0,500 002 328 804 614 733 824 × 2 = 1 + 0,000 004 657 609 229 467 648;
  • 50) 0,000 004 657 609 229 467 648 × 2 = 0 + 0,000 009 315 218 458 935 296;
  • 51) 0,000 009 315 218 458 935 296 × 2 = 0 + 0,000 018 630 436 917 870 592;
  • 52) 0,000 018 630 436 917 870 592 × 2 = 0 + 0,000 037 260 873 835 741 184;
  • 53) 0,000 037 260 873 835 741 184 × 2 = 0 + 0,000 074 521 747 671 482 368;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,919 999 999 999 999 928 954(10) =

0,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

5,919 999 999 999 999 928 954(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


5,919 999 999 999 999 928 954(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2) × 20 =

1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000 =

0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110


Numărul zecimal 5,919 999 999 999 999 928 954 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110

Distribuie

» Scriere 5,919 999 999 999 999 928 935 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100