5,919 999 999 999 999 928 971 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 5,919 999 999 999 999 928 971(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
5,919 999 999 999 999 928 971(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 5.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

5(10) =

101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,919 999 999 999 999 928 971.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,919 999 999 999 999 928 971 × 2 = 1 + 0,839 999 999 999 999 857 942;
  • 2) 0,839 999 999 999 999 857 942 × 2 = 1 + 0,679 999 999 999 999 715 884;
  • 3) 0,679 999 999 999 999 715 884 × 2 = 1 + 0,359 999 999 999 999 431 768;
  • 4) 0,359 999 999 999 999 431 768 × 2 = 0 + 0,719 999 999 999 998 863 536;
  • 5) 0,719 999 999 999 998 863 536 × 2 = 1 + 0,439 999 999 999 997 727 072;
  • 6) 0,439 999 999 999 997 727 072 × 2 = 0 + 0,879 999 999 999 995 454 144;
  • 7) 0,879 999 999 999 995 454 144 × 2 = 1 + 0,759 999 999 999 990 908 288;
  • 8) 0,759 999 999 999 990 908 288 × 2 = 1 + 0,519 999 999 999 981 816 576;
  • 9) 0,519 999 999 999 981 816 576 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 633 152;
  • 10) 0,039 999 999 999 963 633 152 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 266 304;
  • 11) 0,079 999 999 999 927 266 304 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 532 608;
  • 12) 0,159 999 999 999 854 532 608 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 709 065 216;
  • 13) 0,319 999 999 999 709 065 216 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 418 130 432;
  • 14) 0,639 999 999 999 418 130 432 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 836 260 864;
  • 15) 0,279 999 999 998 836 260 864 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 672 521 728;
  • 16) 0,559 999 999 997 672 521 728 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 345 043 456;
  • 17) 0,119 999 999 995 345 043 456 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 690 086 912;
  • 18) 0,239 999 999 990 690 086 912 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 380 173 824;
  • 19) 0,479 999 999 981 380 173 824 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 760 347 648;
  • 20) 0,959 999 999 962 760 347 648 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 520 695 296;
  • 21) 0,919 999 999 925 520 695 296 × 2 = 1 + 0,839 999 999 851 041 390 592;
  • 22) 0,839 999 999 851 041 390 592 × 2 = 1 + 0,679 999 999 702 082 781 184;
  • 23) 0,679 999 999 702 082 781 184 × 2 = 1 + 0,359 999 999 404 165 562 368;
  • 24) 0,359 999 999 404 165 562 368 × 2 = 0 + 0,719 999 998 808 331 124 736;
  • 25) 0,719 999 998 808 331 124 736 × 2 = 1 + 0,439 999 997 616 662 249 472;
  • 26) 0,439 999 997 616 662 249 472 × 2 = 0 + 0,879 999 995 233 324 498 944;
  • 27) 0,879 999 995 233 324 498 944 × 2 = 1 + 0,759 999 990 466 648 997 888;
  • 28) 0,759 999 990 466 648 997 888 × 2 = 1 + 0,519 999 980 933 297 995 776;
  • 29) 0,519 999 980 933 297 995 776 × 2 = 1 + 0,039 999 961 866 595 991 552;
  • 30) 0,039 999 961 866 595 991 552 × 2 = 0 + 0,079 999 923 733 191 983 104;
  • 31) 0,079 999 923 733 191 983 104 × 2 = 0 + 0,159 999 847 466 383 966 208;
  • 32) 0,159 999 847 466 383 966 208 × 2 = 0 + 0,319 999 694 932 767 932 416;
  • 33) 0,319 999 694 932 767 932 416 × 2 = 0 + 0,639 999 389 865 535 864 832;
  • 34) 0,639 999 389 865 535 864 832 × 2 = 1 + 0,279 998 779 731 071 729 664;
  • 35) 0,279 998 779 731 071 729 664 × 2 = 0 + 0,559 997 559 462 143 459 328;
  • 36) 0,559 997 559 462 143 459 328 × 2 = 1 + 0,119 995 118 924 286 918 656;
  • 37) 0,119 995 118 924 286 918 656 × 2 = 0 + 0,239 990 237 848 573 837 312;
  • 38) 0,239 990 237 848 573 837 312 × 2 = 0 + 0,479 980 475 697 147 674 624;
  • 39) 0,479 980 475 697 147 674 624 × 2 = 0 + 0,959 960 951 394 295 349 248;
  • 40) 0,959 960 951 394 295 349 248 × 2 = 1 + 0,919 921 902 788 590 698 496;
  • 41) 0,919 921 902 788 590 698 496 × 2 = 1 + 0,839 843 805 577 181 396 992;
  • 42) 0,839 843 805 577 181 396 992 × 2 = 1 + 0,679 687 611 154 362 793 984;
  • 43) 0,679 687 611 154 362 793 984 × 2 = 1 + 0,359 375 222 308 725 587 968;
  • 44) 0,359 375 222 308 725 587 968 × 2 = 0 + 0,718 750 444 617 451 175 936;
  • 45) 0,718 750 444 617 451 175 936 × 2 = 1 + 0,437 500 889 234 902 351 872;
  • 46) 0,437 500 889 234 902 351 872 × 2 = 0 + 0,875 001 778 469 804 703 744;
  • 47) 0,875 001 778 469 804 703 744 × 2 = 1 + 0,750 003 556 939 609 407 488;
  • 48) 0,750 003 556 939 609 407 488 × 2 = 1 + 0,500 007 113 879 218 814 976;
  • 49) 0,500 007 113 879 218 814 976 × 2 = 1 + 0,000 014 227 758 437 629 952;
  • 50) 0,000 014 227 758 437 629 952 × 2 = 0 + 0,000 028 455 516 875 259 904;
  • 51) 0,000 028 455 516 875 259 904 × 2 = 0 + 0,000 056 911 033 750 519 808;
  • 52) 0,000 056 911 033 750 519 808 × 2 = 0 + 0,000 113 822 067 501 039 616;
  • 53) 0,000 113 822 067 501 039 616 × 2 = 0 + 0,000 227 644 135 002 079 232;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,919 999 999 999 999 928 971(10) =

0,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

5,919 999 999 999 999 928 971(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


5,919 999 999 999 999 928 971(10) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2) =

101,1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0(2) × 20 =

1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000(2) × 22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 000 =

0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110


Numărul zecimal 5,919 999 999 999 999 928 971 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0001 - 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110

Distribuie

» Scriere 5,919 999 999 999 999 928 954 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100