512,159 999 999 999 967 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 512,159 999 999 999 967 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
512,159 999 999 999 967 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 512.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

512(10) =

10 0000 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,159 999 999 999 967 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,159 999 999 999 967 8 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 935 6;
  • 2) 0,319 999 999 999 935 6 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 871 2;
  • 3) 0,639 999 999 999 871 2 × 2 = 1 + 0,279 999 999 999 742 4;
  • 4) 0,279 999 999 999 742 4 × 2 = 0 + 0,559 999 999 999 484 8;
  • 5) 0,559 999 999 999 484 8 × 2 = 1 + 0,119 999 999 998 969 6;
  • 6) 0,119 999 999 998 969 6 × 2 = 0 + 0,239 999 999 997 939 2;
  • 7) 0,239 999 999 997 939 2 × 2 = 0 + 0,479 999 999 995 878 4;
  • 8) 0,479 999 999 995 878 4 × 2 = 0 + 0,959 999 999 991 756 8;
  • 9) 0,959 999 999 991 756 8 × 2 = 1 + 0,919 999 999 983 513 6;
  • 10) 0,919 999 999 983 513 6 × 2 = 1 + 0,839 999 999 967 027 2;
  • 11) 0,839 999 999 967 027 2 × 2 = 1 + 0,679 999 999 934 054 4;
  • 12) 0,679 999 999 934 054 4 × 2 = 1 + 0,359 999 999 868 108 8;
  • 13) 0,359 999 999 868 108 8 × 2 = 0 + 0,719 999 999 736 217 6;
  • 14) 0,719 999 999 736 217 6 × 2 = 1 + 0,439 999 999 472 435 2;
  • 15) 0,439 999 999 472 435 2 × 2 = 0 + 0,879 999 998 944 870 4;
  • 16) 0,879 999 998 944 870 4 × 2 = 1 + 0,759 999 997 889 740 8;
  • 17) 0,759 999 997 889 740 8 × 2 = 1 + 0,519 999 995 779 481 6;
  • 18) 0,519 999 995 779 481 6 × 2 = 1 + 0,039 999 991 558 963 2;
  • 19) 0,039 999 991 558 963 2 × 2 = 0 + 0,079 999 983 117 926 4;
  • 20) 0,079 999 983 117 926 4 × 2 = 0 + 0,159 999 966 235 852 8;
  • 21) 0,159 999 966 235 852 8 × 2 = 0 + 0,319 999 932 471 705 6;
  • 22) 0,319 999 932 471 705 6 × 2 = 0 + 0,639 999 864 943 411 2;
  • 23) 0,639 999 864 943 411 2 × 2 = 1 + 0,279 999 729 886 822 4;
  • 24) 0,279 999 729 886 822 4 × 2 = 0 + 0,559 999 459 773 644 8;
  • 25) 0,559 999 459 773 644 8 × 2 = 1 + 0,119 998 919 547 289 6;
  • 26) 0,119 998 919 547 289 6 × 2 = 0 + 0,239 997 839 094 579 2;
  • 27) 0,239 997 839 094 579 2 × 2 = 0 + 0,479 995 678 189 158 4;
  • 28) 0,479 995 678 189 158 4 × 2 = 0 + 0,959 991 356 378 316 8;
  • 29) 0,959 991 356 378 316 8 × 2 = 1 + 0,919 982 712 756 633 6;
  • 30) 0,919 982 712 756 633 6 × 2 = 1 + 0,839 965 425 513 267 2;
  • 31) 0,839 965 425 513 267 2 × 2 = 1 + 0,679 930 851 026 534 4;
  • 32) 0,679 930 851 026 534 4 × 2 = 1 + 0,359 861 702 053 068 8;
  • 33) 0,359 861 702 053 068 8 × 2 = 0 + 0,719 723 404 106 137 6;
  • 34) 0,719 723 404 106 137 6 × 2 = 1 + 0,439 446 808 212 275 2;
  • 35) 0,439 446 808 212 275 2 × 2 = 0 + 0,878 893 616 424 550 4;
  • 36) 0,878 893 616 424 550 4 × 2 = 1 + 0,757 787 232 849 100 8;
  • 37) 0,757 787 232 849 100 8 × 2 = 1 + 0,515 574 465 698 201 6;
  • 38) 0,515 574 465 698 201 6 × 2 = 1 + 0,031 148 931 396 403 2;
  • 39) 0,031 148 931 396 403 2 × 2 = 0 + 0,062 297 862 792 806 4;
  • 40) 0,062 297 862 792 806 4 × 2 = 0 + 0,124 595 725 585 612 8;
  • 41) 0,124 595 725 585 612 8 × 2 = 0 + 0,249 191 451 171 225 6;
  • 42) 0,249 191 451 171 225 6 × 2 = 0 + 0,498 382 902 342 451 2;
  • 43) 0,498 382 902 342 451 2 × 2 = 0 + 0,996 765 804 684 902 4;
  • 44) 0,996 765 804 684 902 4 × 2 = 1 + 0,993 531 609 369 804 8;
  • 45) 0,993 531 609 369 804 8 × 2 = 1 + 0,987 063 218 739 609 6;
  • 46) 0,987 063 218 739 609 6 × 2 = 1 + 0,974 126 437 479 219 2;
  • 47) 0,974 126 437 479 219 2 × 2 = 1 + 0,948 252 874 958 438 4;
  • 48) 0,948 252 874 958 438 4 × 2 = 1 + 0,896 505 749 916 876 8;
  • 49) 0,896 505 749 916 876 8 × 2 = 1 + 0,793 011 499 833 753 6;
  • 50) 0,793 011 499 833 753 6 × 2 = 1 + 0,586 022 999 667 507 2;
  • 51) 0,586 022 999 667 507 2 × 2 = 1 + 0,172 045 999 335 014 4;
  • 52) 0,172 045 999 335 014 4 × 2 = 0 + 0,344 091 998 670 028 8;
  • 53) 0,344 091 998 670 028 8 × 2 = 0 + 0,688 183 997 340 057 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,159 999 999 999 967 8(10) =

0,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0001 1111 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

512,159 999 999 999 967 8(10) =

10 0000 0000,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0001 1111 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


512,159 999 999 999 967 8(10) =

10 0000 0000,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0001 1111 1110 0(2) =

10 0000 0000,0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0001 1111 1110 0(2) × 20 =

1,0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0000 1111 1111 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0000 1111 1111 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0000 11 1111 1100 =

0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0000


Numărul zecimal 512,159 999 999 999 967 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0000 0000 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0000

Distribuie

» Scriere 512,159 999 999 999 969 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100