90,899 999 999 999 991 473 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 90,899 999 999 999 991 473 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
90,899 999 999 999 991 473 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 90.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 90 : 2 = 45 + 0;
  • 45 : 2 = 22 + 1;
  • 22 : 2 = 11 + 0;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

90(10) =

101 1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,899 999 999 999 991 473 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,899 999 999 999 991 473 8 × 2 = 1 + 0,799 999 999 999 982 947 6;
  • 2) 0,799 999 999 999 982 947 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 965 895 2;
  • 3) 0,599 999 999 999 965 895 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 931 790 4;
  • 4) 0,199 999 999 999 931 790 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 863 580 8;
  • 5) 0,399 999 999 999 863 580 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 727 161 6;
  • 6) 0,799 999 999 999 727 161 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 454 323 2;
  • 7) 0,599 999 999 999 454 323 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 908 646 4;
  • 8) 0,199 999 999 998 908 646 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 997 817 292 8;
  • 9) 0,399 999 999 997 817 292 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 995 634 585 6;
  • 10) 0,799 999 999 995 634 585 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 991 269 171 2;
  • 11) 0,599 999 999 991 269 171 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 982 538 342 4;
  • 12) 0,199 999 999 982 538 342 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 965 076 684 8;
  • 13) 0,399 999 999 965 076 684 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 930 153 369 6;
  • 14) 0,799 999 999 930 153 369 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 860 306 739 2;
  • 15) 0,599 999 999 860 306 739 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 720 613 478 4;
  • 16) 0,199 999 999 720 613 478 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 441 226 956 8;
  • 17) 0,399 999 999 441 226 956 8 × 2 = 0 + 0,799 999 998 882 453 913 6;
  • 18) 0,799 999 998 882 453 913 6 × 2 = 1 + 0,599 999 997 764 907 827 2;
  • 19) 0,599 999 997 764 907 827 2 × 2 = 1 + 0,199 999 995 529 815 654 4;
  • 20) 0,199 999 995 529 815 654 4 × 2 = 0 + 0,399 999 991 059 631 308 8;
  • 21) 0,399 999 991 059 631 308 8 × 2 = 0 + 0,799 999 982 119 262 617 6;
  • 22) 0,799 999 982 119 262 617 6 × 2 = 1 + 0,599 999 964 238 525 235 2;
  • 23) 0,599 999 964 238 525 235 2 × 2 = 1 + 0,199 999 928 477 050 470 4;
  • 24) 0,199 999 928 477 050 470 4 × 2 = 0 + 0,399 999 856 954 100 940 8;
  • 25) 0,399 999 856 954 100 940 8 × 2 = 0 + 0,799 999 713 908 201 881 6;
  • 26) 0,799 999 713 908 201 881 6 × 2 = 1 + 0,599 999 427 816 403 763 2;
  • 27) 0,599 999 427 816 403 763 2 × 2 = 1 + 0,199 998 855 632 807 526 4;
  • 28) 0,199 998 855 632 807 526 4 × 2 = 0 + 0,399 997 711 265 615 052 8;
  • 29) 0,399 997 711 265 615 052 8 × 2 = 0 + 0,799 995 422 531 230 105 6;
  • 30) 0,799 995 422 531 230 105 6 × 2 = 1 + 0,599 990 845 062 460 211 2;
  • 31) 0,599 990 845 062 460 211 2 × 2 = 1 + 0,199 981 690 124 920 422 4;
  • 32) 0,199 981 690 124 920 422 4 × 2 = 0 + 0,399 963 380 249 840 844 8;
  • 33) 0,399 963 380 249 840 844 8 × 2 = 0 + 0,799 926 760 499 681 689 6;
  • 34) 0,799 926 760 499 681 689 6 × 2 = 1 + 0,599 853 520 999 363 379 2;
  • 35) 0,599 853 520 999 363 379 2 × 2 = 1 + 0,199 707 041 998 726 758 4;
  • 36) 0,199 707 041 998 726 758 4 × 2 = 0 + 0,399 414 083 997 453 516 8;
  • 37) 0,399 414 083 997 453 516 8 × 2 = 0 + 0,798 828 167 994 907 033 6;
  • 38) 0,798 828 167 994 907 033 6 × 2 = 1 + 0,597 656 335 989 814 067 2;
  • 39) 0,597 656 335 989 814 067 2 × 2 = 1 + 0,195 312 671 979 628 134 4;
  • 40) 0,195 312 671 979 628 134 4 × 2 = 0 + 0,390 625 343 959 256 268 8;
  • 41) 0,390 625 343 959 256 268 8 × 2 = 0 + 0,781 250 687 918 512 537 6;
  • 42) 0,781 250 687 918 512 537 6 × 2 = 1 + 0,562 501 375 837 025 075 2;
  • 43) 0,562 501 375 837 025 075 2 × 2 = 1 + 0,125 002 751 674 050 150 4;
  • 44) 0,125 002 751 674 050 150 4 × 2 = 0 + 0,250 005 503 348 100 300 8;
  • 45) 0,250 005 503 348 100 300 8 × 2 = 0 + 0,500 011 006 696 200 601 6;
  • 46) 0,500 011 006 696 200 601 6 × 2 = 1 + 0,000 022 013 392 401 203 2;
  • 47) 0,000 022 013 392 401 203 2 × 2 = 0 + 0,000 044 026 784 802 406 4;
  • 48) 0,000 044 026 784 802 406 4 × 2 = 0 + 0,000 088 053 569 604 812 8;
  • 49) 0,000 088 053 569 604 812 8 × 2 = 0 + 0,000 176 107 139 209 625 6;
  • 50) 0,000 176 107 139 209 625 6 × 2 = 0 + 0,000 352 214 278 419 251 2;
  • 51) 0,000 352 214 278 419 251 2 × 2 = 0 + 0,000 704 428 556 838 502 4;
  • 52) 0,000 704 428 556 838 502 4 × 2 = 0 + 0,001 408 857 113 677 004 8;
  • 53) 0,001 408 857 113 677 004 8 × 2 = 0 + 0,002 817 714 227 354 009 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,899 999 999 999 991 473 8(10) =

0,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

90,899 999 999 999 991 473 8(10) =

101 1010,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


90,899 999 999 999 991 473 8(10) =

101 1010,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2) =

101 1010,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2) × 20 =

1,0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 000(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 000 0000 =

0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001


Numărul zecimal 90,899 999 999 999 991 473 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001

Distribuie

» Scriere 90,899 999 999 999 991 479 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100